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Der Vier-Quadrate-Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dieser Satz lautet: Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden. Beispiele: 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 0 + 0 + 0 7 = 4 + 1 + 1 + 1 31 = 25 + 4 + 1 + 1 = 9 + 9 + 9 + 4 Diese Aussage wurde 1621 von Bachet in seiner einflussreichen Diophant -Ausgabe vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen, [1] mittels einer 1748 von Euler gefundenen Identität, die das Problem auf Primzahlen reduzierte. Chi-Quadrat verstehen und berechnen - mit Beispiel. [2] Natürliche Zahlen als Summe von Quadratzahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es gibt natürliche Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen: So ist z. B. 20 = 16 + 4. Für 21 hingegen gibt es eine solche Darstellung nicht. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ist, gesprochen kongruent 1 modulo 4 oder den Rest 1 bei Division durch 4 lässt, gilt allgemein, dass eine natürliche Zahl dann nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist, wenn die Primfaktorzerlegung von mindestens eine Primzahl in ungerader Vielfachheit enthält, für die gilt:.
Restklassen von Quadratzahlen Die vorherige Aussage über mögliche Endziffern von Quadratzahlen bedeutet, dass 0, 1, 4, 5, 6, 9 die möglichen Restklassen der Quadratzahlen modulo 10 sind. Auch für andere Zahlen sind die Restklassen der Quadratzahlen modulo immer nur ein Teil der insgesamt möglichen Restklassen. Für sind beispielsweise die möglichen Restklassen der Quadratzahlen 0, 1, 3, 4, 5 und 9, insbesondere sind 0, 1 die Restklassen der Quadratzahlen modulo 3 sowie modulo 4, bzw. 0, 1, 4 die Restklassen der Quadratzahlen modulo 8. Daraus folgt bspw., dass 3 keine Restklasse der Summe genau zweier Quadratzahlen modulo 4 bzw. 7 keine Restklasse der Summe genau dreier Quadratzahlen modulo 8 ist. In der elementaren Zahlentheorie spielen Untersuchungen über quadratische Reste eine wichtige Rolle. Teileranzahl Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Beweis: Sei, und. Summe aus dem Quadrat | Mathelounge. Es ist, denn. enthält alle Teiler von, also ist die Anzahl der Teiler von gleich. eine Quadratzahl, so ist.
Andernfalls ist. Reihe der Kehrwerte Die Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist. Quadrat einer summe serial. Es war lange Zeit nicht bekannt, ob diese Reihe konvergiert, und wenn ja, gegen welchen Grenzwert. Erst Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert der Reihe. Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen Es gibt einige merkwürdige Beziehungen für die Summe aufeinanderfolgender Quadratzahlen: oder allgemein Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder gar sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben (andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich): n=2: (Folge A027861 in OEIS, Folge A027862 in OEIS) n=3: (Folge A027863 in OEIS, Folge A027864 in OEIS) n=6: (Folge A027866 in OEIS, Folge A027867 in OEIS) Siehe auch Vier-Quadrate-Satz Basierend auf einem Artikel in: Seite zurück © Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05. 06. 2021
Dabei werden um einen Stein in der Mitte des Quadrats weitere Quadrate gelegt. Die für diese Muster notwendige Anzahl an Steinen entspricht jeweils einer zentrierten Quadratzahl. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen, wie sich an deren geometrischen Muster erkennen lässt. Auch die Formel für zentrierte Quadratzahlen lässt sich mit Hilfe der ersten binomischen Formel so umstellen, dass die beiden Quadratzahlen sichtbar werden. Pyramidenzahlen Die Summe der ersten Quadratzahlen ergibt die -te Pyramidenzahl. Quadrat einer summertime. Das folgende Bild veranschaulicht diese Beziehung am Beispiel der vierten Endziffern von Quadratzahlen Quadratzahlen enden nie mit einer der Ziffern 2, 3, 7 oder 8, da kein Quadrat einer einstelligen Zahl mit einer dieser Ziffern endet. Ist die letzte Ziffer einer beliebigen Zahl, dann gilt für deren Quadrat Die letzte Ziffer von ist somit identisch mit der letzten Ziffer von. Unter den ersten Quadratzahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81 findet sich jedoch keine Zahl, die auf 2, 3, 7 oder 8 endet.
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