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Das ist nur unter Beibehaltung der Definitionsmenge \$D_f\$ möglich, denn eine Funktion ist nicht nur über ihren Term, sondern auch über ihre Definitionsmenge festgelegt. Würde man ohne Beachtung der Defintionslücken von f kürzen, so erhielte man \${x+2}/{(x+1)(x-3)^2}\$, also eine Funktion, die bei \$x=1\$ unproblematisch ist, also nur den Definitionsbereich \$RR\\{-1;3}\$ hätte. Somit hätten wir aber die Funktion f geändert, da nun ein anderer Definitionsbereich vorliegt. Die Lösung besteht darin, dass man kürzen darf, den ursprünglichen Definitionsbereich aber beibehält, d. h. \$f(x)={x+2}/{(x+1)(x-3)^2}\$ mit \$D_f=RR\\{-1;1;3}\$ Im Graphen kennzeichnet man die Definitionslücke bei \$x=1\$ mit einem Kreis, der verdeutlichen soll, dass die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Verhalten der funktionswerte und. Eine Definitionslücke, bei der die beschriebene Vorgehensweise möglich ist, heißt hebbare Definitionslücke. 2. 2. Ungerade Polstelle Die Definitionslücke bei \$x=-1\$ äußert sich im Graph in einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel: nähert man sich von links der Stelle an, so divergiert der Graph gegen \$-oo\$, von rechts angenähert gegen \$+oo\$.
Anmerkungen: Der obige Satz gibt eine Bedingung für die Monotonie einer Funktion an, die notwendig und hinreichend ist. Wenn man im ersten Teil des Beweises f '(x) > 0 voraussetzt, so folgt stets f ( x 2) > f ( x 1). Der Beweis gilt also auch für strenge Monotonie. Der zweite Beweisteil ist hingegen für strenge Monotonie nicht allgemeingültig: Wenn eine Funktion f streng monoton wachsend ist, dann müsste stets f '(x) > 0 gelten. Ein Gegenbeispiel dazu stellt die Funktion f ( x) = x 3 dar, die zwar streng monoton wachsend ist, für die aber f '(0) = 0 gilt. Verhalten der funktionswerte in florence. Obiger Satz ist für strenge Monotonie folglich nur hinreichend.
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