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Reelle Fourierreihe - Konvergenz im quadratischen Mittel Es gilt erfreulicherweise folgender Satz: Theorem Die Fourierreihe jeder 2 τ -periodischen, über das Intervall [ - τ, + τ] integrierbaren Funktion f von ℝ nach konvergiert im quadratischen Mittel gegen f. Der am Beweis interessierte Leser sei auf eine Extraseite - wo allerdings nur ein etwas schwächeres Resultat, die so genannte Bessel´sche Ungleichung, bewiesen wird - und auf die Literaturseite verwiesen. Bilden wir also gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) die Fourierkoeffizienten a 0, 1, 2, 3, …, b … und dann für jedes N ∈ ℕ gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) die Funktion N, so geht die Größe (Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen), anschaulich die "mittlere quadratische Abweichung" zwischen und f, für unendlich werdendes gegen 0. Dies läst sich durch ein Resultat ergänzen, das deshalb interessant ist, weil es etwas über die Approximation von durch bei endlichem aussagt.
Wir untersuchen nun die Fourier-Reihen beliebiger integrierbarer periodischer Funktionen. Im Folgenden sei V = { f: ℝ → ℂ | f ist 2π-periodisch und Riemann-integrierbar auf [ 0, 2π]}. Die Menge V bildet mit der Skalarmultiplikation αf, α ∈ ℂ, und der punktweisen Addition f + g einen ℂ -Vektorraum. Weiter sind mit einer Funktion f immer auch die Funktionen Re(f), Im(f), |f| und f Elemente von V. Wir führen nun eine geometrische Struktur auf dem Vektorraum V ein, die insbesondere auch erklären wird, warum wir die Eigenschaft ∫ 2π 0 e i n x e −i k x dx = δ n, k · 2 π als Orthogonalität der Funktionen e i k x bezeichnet haben. (Der Leser vergleiche die folgende Konstruktion auch mit "Normen aus Skalarprodukten" in 2. 3. Konvergenz im quadratischen Mittel. ) Definition ( Skalarprodukt für periodische Funktionen) Für alle f, g ∈ V setzen wir: 〈 f, g 〉 = 1 2π ∫ 2π 0 f (x) g(x) dx. In der Definition verwenden wir, dass das Produkt zweier integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist. fg fg Illustration des Skalarprodukts für reelle Funktionen f und g.
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Die Periodizität von ist offensichtlich unerheblich. Der am Beweis des Satzes interessierte Leser sei auf die Literatur verwiesen. So, wie wir obigen Satz in Kürze anwenden wollen, benötigen wir noch einen Hilfssatz über gleichmäßige Konvergenz. Konvergenz im quadratischen mittel 10. Er lautet wie folgt: Theorem Ist eine weitere ( -periodische) Funktion g gegeben, konvergiert f, und ist beschränkt, so konvergiert ⋅ g. (vgl. Literatur). Auch hierbei ist die Periodizität der Funktionen …, unerheblich.
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Die Position des Außenministers mit der Bezeichnung Secretary of State for Foreign Affairs wurde im britischen Kabinett erstmals 1782 vergeben. 1968 änderte sich im Zuge der Umwandlung des Foreign Office in ein Foreign and Commonwealth Office die Amtsbezeichnung in Secretary of State for Foreign and Commonwealth Affairs. Das Amt zählt neben dem des Schatzkanzlers und des Innenministers zu den höchsten im britischen Kabinett und wurde bereits von mehreren Premierministern vor, während oder nach ihrer Tätigkeit als Regierungschef ausgeübt. Amtszeit in Kabinett(en) Secretary of State for Foreign Affairs (1782–1968) Charles James Fox 27. März 1782 – 5. Juli 1782 Rockingham Thomas Robinson, 2. Baron Grantham 13. Juli 1782 – 2. April 1783 Shelburne 2. April 1783 – 9. Dezember 1783 Fox / North George Nugent-Temple-Grenville 19. Dezember 1783 – 23. Dezember 1783 Pitt Francis Osborne, 5. Duke of Leeds 23. Dezember 1783 – Mai 1791 William Grenville, 1. Baron Grenville 8. Ehemaliger britischer Premierminister (Tony) • Kreuzworträtsel Hilfe. Juni 1791 – 20. Februar 1801 Robert Jenkinson, 2.
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