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Beispiel: Lineare Optimierung grafisch lösen Im Beispiel zur linearen Optimierung war die erste Beschränkung: k + t <= 3 (Die Summe der K-Becher und T-Becher darf höchstens 3 sein, es gab nur 3 Becher). Auf der waagrechten x-Achse in einem Koordinatensystem sollen die K-Becher, auf der senkrechten y-Achse die T-Becher abgetragen werden. Beschränkungen einzeichnen Man könnte aus der Beschränkung eine Geradengleichung konstruieren, am einfachsten ist es aber, sich zu überlegen, was bei 0 Einheiten des einen mit dem anderen passiert. Bei 0 K-Bechern kann es 3 T-Becher geben, das gibt den Punkt (0, 3). Bei 0 T-Bechern kann es 3 K-Becher geben, das gibt den Punkt (3, 0). Grafische Lösung eines Maximierungsproblems. Durch diese beiden Punkte kann man eine Gerade (gestrichelte Gerade, siehe unten) ziehen, das ist die erste Beschränkung ("Grenze"). Die zweite Beschränkung war: 2k + 4t <= 8 (Ein K-Becher hatte 2 Zuckerwürfel, ein T-Becher 4 Zuckerwürfel; es gab in Summe 8 Zuckerwürfel). Bei 0 K-Bechern kann es 2 T-Becher geben (dann wären 2 × 4 = 8 Zuckerwürfel verbraucht), das gibt den Punkt (0, 2).
2. Einzeichnung der Zielfunktion. 3. Verschiebung der Zielfunktion (parallel zu sich selbst) bis diese gerade noch innerhalb des zulässigen Bereichs liegt. 1. Einzeichnen der Restriktionen Die Nebenbedingungen werden nacheinander in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Die Maschinenrestriktion (in rot eingezeichnet) hat die Form: $x_1 + x_2 \le 15 $ Um $x_1$ einzuzeichnen, wird $x_2 = 0$ gesetzt und dann nach $x_1$ aufgelöst: $ x_1 = 15$ Um $x_2$ einzuzeichnen wird $x_1 = 0$ gesetzt und dann nach $x_2$ aufgelöst: Merke Hier klicken zum Ausklappen Werden keine Einheiten von $x_2$ produziert, so können 15 Einheiten von $x_1$ produziert werden und umgekehrt. Die beiden Punkte $x_1(15; 0)$ und $x_2(0; 15)$ werden dann in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden. Dies liegt daran, dass die beiden Eissroten hinsichtlich der Maschinenrestriktionen voneinander abhängig sind bzw. Lineare optimierung zeichnen fur. sich begrenzen. Je mehr von einer Eissorte produziert wird, desto weniger Kapazität bleibt für die andere Eissorte übrig.
Es lsst sich nachrechnen, dass 80-96=-16kg brig bleiben, mit anderen Worten gesagt, es fehlen 16kg. Die Nebenbedingungen in Gesamtheit Auf diese Weise lassen sich auch die brigen Nebenbedingungen einzeichnen. Damit eine Mengenkombination herstellbar ist, mssen alle Nebenbedingungen erfllt sein. Die Lsungsmenge entspricht dem Bereich, in dem alle Nebenbedingungen und auch die Nichtnegativittsbedingungen erfllt sind. An verschiedenen Stellen sind unterschiedliche Nebenbedingungen einschrnkend. Der zulssige Bereich hat einige Ecken , an diesen Stellen sind zwei Nebenbedingungen einschrnkend. Noch eine Eigenschaft sei erwhnt, der zulssige Bereich ist konvex. Lineare Optimierung, Ungleichungen, Planungsvieleck, Gewinngerade | Mathe-Seite.de. Das bedeutet, wenn man zwei Punkte innerhalb oder auf den Grenzen des Bereichs miteinander verbindet, liegt die Verbindungslinie vollstndig innerhalb dieses Bereichs. Das ist eine wichtige Eigenschaft, die nicht nur in diesem Beispiel, sondern bei Linearen Optimierungsproblemen immer gegeben ist. Die Zielfunktion Nun ist die spannende Frage, welcher Punkt im zulssigen Bereich der beste ist.
Es stellt sich also die Frage, welche Sorte einen besseren Beitrag für den Deckungsbeitrag leistet. Es ist ersichtlich, dass die Schokoladensorte ($x_2$) bis zu ihrem Absatzmaximum in Höhe von 10 kg/std produziert wird. Lineare optimierung zeichnen mit. Die Vanillesorte hingegen ($x_1$) wird nicht bis zu ihrem Absatzmaximum in Höhe von 5 kg/std produziert. Der Grund dafür liegt darin, dass die Schokoladensorte einen höheren Deckungsbeitrag aufweist (40 €) und zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrages einen höheren Beitrag leistet als die Vanillesorte. Die Energierestiktion ist in diesem Beispiel unerheblich, da die Maschinenrestriktion die Produktion so stark begrenzt, dass die Energiekapazität nicht ausgeschöpft wird.
In diesem Beispiel ist dieser gegeben durch die Maschinenrestriktion (rot) und durch die Absatzrestriktionen (blau). Der zulässige Bereich ist in der nachfolgenden Grafik durch die schwarzen Linien gekennzeichnet: Die Nichtnegativitätsbedingungen geht dadurch ein, dass der Bereich oberhalb der Abzisse ($x_1$-Achse) und rechts von der Ordinate ($x_2$-Achse) betrachtet wird. Lineare optimierung zeichnen auf. Der zulässige Bereich stellt ein Vieleck (=Simplex) dar. Einzeichnung der Zielfunktion Um nun das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, also die optimale Kombination aus $x_1$ und $x_2$ zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrages, wird die Zielfunktion benötigt. Diese hat die Form: $f(x_1, x_2) = 30 x_1 + 40 x_2$ Hierbei ist es egal, welchen Höchstwert (rechte Seite) man ansetzt. Es ist wichtig, dass der gewählte Wert so hoch ist, dass sich die Zielfunktion in die Grafik einzeichnen lässt und noch innerhalb des zulässigen Bereiches liegt. Außerdem sollten dabei einigermaßen gerade Werte für $x_1$ und $x_2$ resutieren.
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