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Beim Integrieren verketteter Funktionen der Form $f(g(x))$ mit einer linearen inneren Funktion nutzt man die lineare Substitutionsregel: $\int f(mx+n) \, \mathrm{d}x$ $=\frac1m F(mx+n)+C$! Mathe Aufgaben Analysis Integralrechnung Substitutionsregel - Mathods. Merke Die lineare Substitutionsregel darf nur angewendet werden, wenn die innere Funktion $g(x)$ eine lineare Funktion ist, also: $g(x)=mx+n$. $f(g(x))$ $=f(mx+n)$ i Tipp Neben der Integration durch lineare Substitution (lineare Substitutionsregel), gibt es für beliebig verkettete Funktionen die Integration durch nichtlineare Substitution. Die lineare Substitution ist eigentlich nur ein Spezialfall der allgemeinen Substitution, jedoch reicht sie für die meisten Aufgaben aus.
Sei eine Stammfunktion von, dann gilt mit der Kettenregel und weiter:. Substitution und Differentiale Bei der praktischen Anwendung der Substitutionsregel ersetzt man meist die Variable durch die Funktion:. Wenn man diesen Ausdruck nun nach ableitet und anschließend die Gleichung umstellt, erhält man:,. Setzt man nun und in die rechte Seite der Substitutionsregel ein, wird plausibel, dass die Regel stimmt. Daraus ergibt sich auch schon eine Anleitung für ein Verfahren der Substitution. Es muss lediglich die Funktion noch so bestimmt werden, dass der Integrand auf der linken Seite der Gleichung gegenüber dem Integranden auf der rechten Seite vereinfacht wird. Integration durch Substitution. Das gelingt meistens, wenn eine verschachtelte Funktion im Integranden vorliegt. Integration durch Substitution Beispiel Wir betrachten zum Beispiel die Funktion. Dann könnte man die Funktion zu der Funktion vereinfachen wollen. Es müsste also gelten:. Diesen Ausdruck kann man nun nach umstellen und nennt den erhaltenten Term:. Jetzt gilt nämlich, was genau das Ziel war.
Hier finden Sie eine Übersicht über weitere Beiträge zur Fortgeschrittenen Differential- und Integralrechnung, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
\(\displaystyle\int 2x\cdot \varphi^4\frac{1}{2x}\, d\varphi=\displaystyle\int \varphi^4\, d\varphi=\frac{1}{5}\varphi^5\) Als letztes müssen wir die Rücksubstitution durchführen, bei dem wir für \(\varphi\) wieder \(x^2+1\) ersetzen. \(\frac{1}{5}\varphi^5=\frac{1}{5}(x^2+1)^5\) Damit haben wir unser Integral gelöst: \(\displaystyle\int 2x\cdot (x^2+1)^4\, dx=\frac{1}{5}(x^2+1)^5\)
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