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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Zeilenstufenform einer Matrix ist. Wichtige Begriffe Beispiel 1 $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Die ersten beiden Zeilen sind Nichtnullzeilen. Die 3. Zeile ist eine Nullzeile. Beispiel 2 $$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 2 & 3 & 4 \\ 0 & {\color{red}6} & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}7} & 8 & 1 \\ 0 & 0 & {\color{red}3} & 3 \end{pmatrix} $$ Die Zeilenführer sind rot markiert. Definition Charakteristisch für die Zeilenstufenform ist, dass die Zeilenführer wie Treppenstufen angeordnet sind – also nach unten wandern. Rechner für Matrizen. Demnach kann in einer Spalte maximal ein Zeilenführer auftreten. Beispiel 3 $$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 2 & 3 & 4 & 1 \\ 0 & {\color{red}6} & 7 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}5} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{red}7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Matrix in Zeilenstufenform umwandeln Um eine Matrix in Zeilenstufenform umzuwandeln, verwenden wir den Gauß-Algorithmus.
Dann ist X 4 =4/3. Dann setzt man X 5 und X 4 in die Gleichung drüber ein. Usw. Hier könnt ihr euch Aufgaben berechnen lassen:
Demnach kann in einer Spalte maximal ein Zeilenführer auftreten. Beispiel 3 $$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & {\color{red}6} & \ast & \ast & \ast \\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}5} & \ast \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{red}7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Dabei steht $\ast$ für einen beliebigen Wert. Eine Matrix ist in normierter Zeilenstufenform, wenn zusätzlich (! ) folgende Bedingungen erfüllt sind: Jeder Zeilenführer hat den Wert $1$. Jeder Zeilenführer ist der einzige Eintrag in seiner Spalte, der nicht gleich Null ist. Zeilenstufenform - Studimup.de. Beispiel 4 $$ \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 0 & \ast & 0 & 0 \\ 0 & {\color{red}1} & \ast & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{red}1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\color{red}1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Dabei steht $\ast$ für einen beliebigen Wert. Matrix in normierte Zeilenstufenform umwandeln Jede beliebige Matrix kann in die normierte Zeilenstufenform umgewandelt werden. Um eine Matrix in die normierte Zeilenstufenform umzuwandeln, verwenden wir den Gauß-Jordan-Algorithmus.
Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus lässt sich eine Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform bringen. Dies ist sinnvoll, wenn die Matrix aus den Vorfaktoren der einzelnen Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems ermittelt wurde, um die Zahlwerte der Unbekannten zu ermitteln (siehe Beispiel zur Ermittlung einer Matrix aus einem linearen Gleichungssystem). 1. Suchen der 1. Zeile von oben und Spalte von links, in der mindestens ein Wert, der ungleich 0 ist, steht 2. Vertauschen der 1. Zeile mit dieser Zeile, wenn die Zahl in der gewählten Spalte der gewählten Zeile gleich 0 ist 3. Online-Rechner: Rechner für die normierte Zeilenstufenform einer Matrix. Dividieren der 1. (gewählten) Zeile durch die Zahl in der 1. gefüllten Spalte der 1. Zeile 4. Subtrahieren entsprechender Vielfacher der 1. Zeile von den anderen Zeilen bis die Zahl in der 1. Spalte jeder Zeile gleich 0 ist 5. Streichen der 1. Zeile und Spalte zum Erhalten einer Restmatrix; weiter mit Schritt 1, bis die Matrix in Zeilenstufenform ist 6. Subtrahieren entsprechender Vielfacher anderer Zeilen bis in jeder Zeile möglichst wenige von 0 verschiedene Zahlen stehen