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=. Ermittle alle Nullstellen. Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Mitternachtsformel! ) ab: Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b). Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)². Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar. Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren: Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der pq-Formel evtl. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren. Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (pq-Formel! ) ab: Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
Die Bestimmung ganzrationaler Funktionen ist meistens als Rekonstruktion oder Steckbriefaufgaben bekannt; eher seltener sind die Bezeichnungen Parameteraufgaben oder Umkehraufgaben. Die Bestimmung von Funktionsgleichungen, wenn alle Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt sind, wird üblicherweise als eigenständiges Thema behandelt, da in diesem Fall ein anderer Ansatz sinnvoller ist. Die im Folgenden aufgeführten Bedingungen gelten für jede Art von Funktionen, nicht nur für ganzrationale. Der Ansatz ist natürlich auf ganzrationale Funktionen beschränkt. Ansatz Eine Funktion 3. Grades: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ Eine Funktion 4.
Grad einer Funktion Polynomfunktionen, auch Ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Potenz angeschrieben. Die höchste Potenz des Polynoms, das heißt der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades. Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten: Eine konstante Funktion hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade. Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade. Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel. Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf. Eine Polynomfunktion vom 4. Grad hat einen w-förmigen Verlauf.
Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion f ( x) = x 4 − 19 x 2 + 48, man ermittle die Nullstellen. Die Gleichung x 4 − 19 x 2 + 48 = 0 ist zu lösen. Man setzt z = x 2. Mit dieser Substitution erhält man eine quadratische Gleichung in z: z 2 − 19 z + 48 = 0 Diese hat die Lösungen z 1 = 3 und z 2 = 16. Nun wird die Substitution rückgängig gemacht, und die Gleichungen x 2 = 3 und x 2 = 16 werden gelöst. Das führt zu folgenden Nullstellen: x 1 = 3; x 2 = − 3; x 3 = 4; x 4 = − 4 Ein weiteres Lösungsverfahren ist das Lösen durch schrittweises Faktorisieren einer ganzrationalen Funktion mithilfe ihrer Nullstellen. Grundlage dafür ist der folgende Zusammenhang: Wenn x 0 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f vom Grad n (mit n ∈ ℕ), d. h. mit der Form f ( x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +... + a 1 x + a 0 ist, dann gibt es eine Zerlegung der Form f ( x) = ( x − x 0) ⋅ g ( x). Dabei ist g(x) eine Funktion vom Grad n − 1. Dieser Satz lässt sich folgendermaßen beweisen: Sei x 0 eine Nullstelle von f(x).
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