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Eine empirische Verteilungsfunktion – auch Summenhäufigkeitsfunktion oder Verteilungsfunktion der Stichprobe genannt – ist in der beschreibenden Statistik und der Stochastik eine Funktion, die jeder reellen Zahl den Anteil der Stichprobenwerte, die kleiner oder gleich sind, zuordnet. Die Definition der empirischen Verteilungsfunktion kann in verschiedenen Schreibweisen erfolgen. Definition Allgemeine Definition Wenn die Beobachtungswerte in der Stichprobe sind, dann ist die empirische Verteilungsfunktion definiert als mit, wenn und Null sonst, d. h. bezeichnet hier die Indikatorfunktion der Menge. Empirische Verteilungsfunktion • Einfach erklärt mit Beispiel · [mit Video]. Die empirische Verteilungsfunktion entspricht somit der Verteilungsfunktion der empirischen Verteilung. Empirische Verteilungsfunktion für unklassierte Daten. Alternativ lässt sich die empirische Verteilungsfunktion mit den Merkmalsausprägungen und den zugehörigen relativen Häufigkeiten in der Stichprobe definieren: Die Funktion ist damit eine monoton wachsende rechts stetige Treppenfunktion mit Sprüngen an den jeweiligen Merkmalsausprägungen.
Dabei heißt das -Quantil das erste Dezil, das -Quantil das zweite Dezil etc. Unterhalb des ersten Dezils liegen 10% der Stichprobe, oberhalb entsprechend 90% der Stichprobe. Ebenso liegen 40% der Stichprobe unterhalb des vierten Dezils und 60% oberhalb. Perzentil [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Als Perzentile werden die Quantile von bis in Schritten von bezeichnet. Abgeleitete Begriffe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus den Quantilen lassen sich noch gewisse Streuungsmaße ableiten. Das wichtigste ist der Interquartilabstand (englisch interquartile range). Er gibt an, wie weit das obere und das untere Quartil auseinanderliegen und damit auch, wie breit der Bereich ist, in dem die mittleren 50% der Stichprobe liegen. [3] Etwas allgemeiner kann der (Inter-)quantilabstand definiert werden als für. Er gibt an, wie breit der Bereich ist, in dem die mittleren der Stichprobe liegen. Für entspricht er dem Interquartilabstand. Ein weiteres abgeleitetes Streumaß ist die mittlere absolute Abweichung vom Median.
Damit ist die punktweise Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktion gegen die wahre Verteilungsfunktion gegeben. Ein weiteres, stärkeres Resultat, der Satz von Glivenko-Cantelli sagt aus, dass dies sogar gleichmäßig geschieht:. Diese Eigenschaft ist die mathematische Begründung dafür, dass es überhaupt sinnvoll ist, Daten mit einer empirischen Verteilungsfunktion zu beschreiben. Ogive (Verteilungsfunktion) einer theoretischen und einer empirischen bezeichnete ursprünglich das gotische Bau-Stilelement Spitzbogen sowie die verstärkten Rippen in den Gewölben. Der Ausdruck wurde in der Statistik für eine Verteilungsfunktion erstmals 1875 von Francis Galton verwendet: "When the objects are marshalled in the order of their magnitude along a level base at equal distances apart, a line drawn freely through the tops of the form a curve of double curvature... Such a curve is called, in the phraseology of architects, an 'ogive'. " – Francis Galton: Aus Statistics by intercomparison with remarks on the Law of Frequency of Error., Philosophical Magazine 49, S. 35 Auf der horizontalen Achse des Koordinatensystems werden hier die geordneten (oft gruppierten) Merkmalsausprägungen aufgetragen; auf der vertikalen Achse die relativen kumulierten Häufigkeiten in Prozent.
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