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Um Ebene n in einem dreidimensionalen Koordinaten system darstellen zu können, brauchen wir bestimmte, eindeutig erkennbare Punkte. Hierzu nehmen wir die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems. Diese nennt man auch Spurpunkte. Wir erinnern uns an die Aufgaben im Zweidimensionalen die Nullstellen von Funktionen - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Ebenen in Parameterform aufstellen - Übungsaufgaben. Im räumlichen Fall gehen wir ebenso vor: Für alle Punkte auf der x 1 -Achse gilt, dass ihre x 2 - und x 3 -Koordinaten den Wert Null haben. Methode Hier klicken zum Ausklappen Um die Spurpunkte einer Ebene zu berechnen, setzen wir also in der Ebenengleichung (hier in Koordinatenform) die entsprechenden Koordinaten gleich Null. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben ist die Ebene E mit E: $2x_1+x_2+2x_3=4$. Bestimme die Spurpunkte der Ebene und stelle die Ebene in einem geeigneten Koordinatensystem dar. Schnittpunkt mit der x 1 -Achse (x 2 =x 3 =0): $2\cdot x_1+0+2\cdot 0=4 \iff x_1=2 \rightarrow$ S 1 (2|0|0) Schnittpunkt mit der x 2 -Achse (x 1 =x 3 =0): $2\cdot 0+x_2+2\cdot 0=4 \iff x_2=4 \rightarrow$ S 2 (0|4|0) Schnittpunkt mit der x 3 -Achse (x 1 =x 2 =0): $2\cdot 0+0+2\cdot x_3=4 \iff x_3=2 \rightarrow$ S 3 (0|0|2) Methode Hier klicken zum Ausklappen Um jetzt mit Hilfe der Spurpunkte die Lage der Ebene anzudeuten, verbinden wir die 3 Spurpunkte zu einem Dreieck.
Auch eine Gleichung der Form $ax_1+bx_2+cx_3=d$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Da alle Koordinaten in einer Gleichung vorkommen nennt man sie auch Koordinatenform einer Ebene. Sie beschreibt, wie x 1 -, x 2 - und x 3 -Koordinate eines Punktes auf der Ebene miteinander zusammenhängen. Anmerkung: Bei Geraden im Zweidimensionalen war uns bislang sogar nur die Darstellung in Koordinatenform vertraut. Eine Geradengleichung wie zum Beispiel $y=2x-3$ ist ja in anderen Koordinaten nichts anderes wie $x_2=2x_1-3$ und damit $2x_1-x_2=3$, was uns sehr an obige Darstellung erinnern sollte. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Die Gleichung $2x_1+x_2+2x_3=4$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Vorteil der Darstellung in Koordinatenform Die Vorteile dieser Darstellung sind unter anderem eine sehr einfache Punktprobe (liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht? ), das Auffinden von Punkten auf der Ebene und das Bestimmen von Spurpunkten (vgl. Kapitel zur Darstellung von Ebenen im Koordinatensystem).
Der Punkt hingegen liegt nicht auf der Gerade, da. Die Koordinatenform beschreibt eine Ebene im. Um nun zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, setzt du die Komponenten des Punktes in die Koordinatenform der Ebene ein und schaust, ob die Gleichung erfüllt ist. Der Punkt liegt zum Beispiel auf der Ebene, da. Aber der Punkt liegt nicht auf der Ebene, denn. Koordinatenform Aufgabe Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Ebene liegen. a) b) Lösung Um zu überprüfen, ob die Punkte auf der Ebene liegen, setzt du die Komponenten der Punkte in die Form ein und schaust, ob du dabei erhältst. a). Der Punkt liegt demnach auf der Ebene. b). Also liegt der Punkt nicht auf der Ebene. Beliebte Inhalte aus dem Bereich Geometrie