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Die Tatsache, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}=e^a\$ ist, werden wir für die Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verwenden. 3. Beispiel zur Ableitung der e-Funktion Aufgabe Leite \$f(x)=e^{2x}\$ ab. Ableitung der e funktion beweis 2. \$f'(x)=e^{2x} * 2\$ Die Multiplikation mit der 2 kommt durch die Anwendung der Kettenregel zustande. Hier ist \$e^x\$ die äußere Funktion und \$2x\$ die innere Funktion, so dass die Kettenregel hier zur Anwendung kommt und man mit der Ableitung von \$2x\$ nachdifferenzieren muss. 4. Graph der e-Funktion Der Graph von \$e^x\$ geht bei 1 durch \$e=2, 71828\$ und bei 0 durch \$e^0=1\$. Zusätzlich sind noch die Graphen von \$e^{-x}\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der y-Achse) und \$-e^x\$ (Spiegelung von \$e^x\$ an der x-Achse) eingezeichnet. Beachte, dass sich der Graph der normalen e-Funktion im negativen Bereich der x-Achse beliebig annähert, diese aber nie berührt, denn \$e^x>0\$ für alle \$x in RR\$.
( e x) ' = e x (21) Wir gehen aus vom Differenzenquotienten e x + e - e = e e - 1 e x. Beachten Sie die Struktur dieses Ausdrucks: Er ist das Produkt aus einem nur von e abhängenden Term mit e x, d. h. dem Funktionsterm selbst! Vom Grenzübergang e ® 0 ist nur der erste Faktor betroffen. Führen wir die Abkürzung c = lim ein, so ergibt sich: ( e x) ' = c e x. Ableitung der e funktion beweis unseres friedenswillens. Die Ableitung ( e x) ' ist daher ein Vielfaches von Die Bedeutung der Proportionalitätskonstante c wird klar, wenn wir auf der rechten Seite dieser Beziehung x = 0 setzen (und bedenken, dass e 0 = 1 ist): c ist die Ableitung an der Stelle x = 0. Um ( 21) zu beweisen, müssen wir also nur mehr zeigen, dass c = 1 ist, d. dass die Exponentialfunktion x ® e x an der Stelle 0 die Ableitung 1 hat.
Damit haben wir das fehlende Glied in unserem Beweis: Es gilt c = 1, daher 1. Nachbemerkung: Formel ( 21) offenbart die wahre Bedeutung der Zahl e. Unter allen Funktionen x ® a x mit beliebigen reellen Basen a ist die einzige, die mit ihrer Ableitung identisch ist! Wir können diese bemerkenswerte Eigenschaft auch so formulieren: Es gibt nur eine einzige auf der Menge der reellen Zahlen definierte differenzierbare Funktion f, für die die beiden Aussagen f '( x) = f ( x) für alle reellen x f (0) = 1 zutreffen, und zwar f ( x) = e x. Die Zahl e kann dann als f (1) definiert werden. Ableitung der e-Funktion (Herleitung und Beweis) - YouTube. Von diesem Standpunkt aus betrachtet, erscheint die Eulersche Zahl als ein sehr "natürliches" mathematisches Objekt.
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