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Die harmonische Reihe ist in der Mathematik die Reihe, die durch Summation der Glieder der harmonischen Folge entsteht. Ihre Partialsummen werden auch harmonische Zahlen genannt. Diese finden beispielsweise Anwendung in Fragestellungen der Kombinatorik und stehen in enger Beziehung zur Euler-Mascheroni-Konstante. Obwohl die harmonische Folge eine Nullfolge ist, ist die harmonische Reihe divergent. Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die -te Partialsumme der harmonischen Reihe heißt die -te harmonische Zahl: Die harmonische Reihe ist ein Spezialfall der allgemeinen harmonischen Reihe mit den Summanden, wobei hier, siehe unten. Die Reihe – Wikipedia. Der Name harmonische Reihe wurde gewählt, da jedes Glied das harmonische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist: Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Werte der ersten Partialsummen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Nenner von ist durch jede Primzahlpotenz mit teilbar, also auch durch mit und für nach dem Bertrandschen Postulat durch mindestens eine ungerade Primzahl.
Die Gesamtlänge des Auslegers beträgt somit:. Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Da die harmonische Reihe beliebig große Werte annehmen kann, wenn man sie nur weit genug fortführt, gibt es keine prinzipielle Grenze, wie weit der oberste Stein überhängen kann. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. Für einen Überhang in 2, 5-facher Steinlänge werden etwa 100 Steine benötigt werden. Die 8 reine d'angleterre. Bei einem realen Aufbau würde dies bereits hohe Anforderungen an die Maßhaltigkeit der Steine stellen. Weitere Beispiele für die Anwendung der harmonischen Reihe sind das Sammler-Problem und das Problem der 100 Gefangenen. Verwandte Reihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe Die alternierende harmonische Reihe konvergiert: Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium, der Grenzwert lässt sich mit der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus und dem abelschen Grenzwertsatz berechnen.
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Gottfried Michael Koenig: Kommentar Publikationen der Reihe Bücher der Reihe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Herbert Eimert: Grundlagen der musikalischen Reihentechnik, Wien: Universal Edition 1964
Die Musikzeitschrift die Reihe war eine Publikation zum Thema Serielle Musik, die in den Jahren 1955 bis 1962 von Herbert Eimert unter Mitarbeit von Karlheinz Stockhausen im Verlag Universal Edition Wien herausgegeben wurde. Der Titel bezieht sich auf die Zwölftonreihe, die das konstituierende Element der Zwölftonmusik bildet. Sie war ein Forum für den musiktheoretischen Diskurs zur Neuen Musik in der Nachfolge der Wiener Schule, in dem namhafte Komponisten sich äußerten. Fachserie 8 - Verkehr - Statistisches Bundesamt. Insgesamt erschienen acht Hefte, die zwischen 1958 und 1968 auch beim Verlag Theodore Presser Company (Bryn Mawr: Pennsylvania) in englischer Ausgabe mit den deutschen Originaltiteln verlegt wurde. Es gab auch eine Buchreihe Bücher der Reihe, die aber über eine Ausgabe nicht hinausgekommen zu sein scheint.