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Quadratische Gleichung Pq-Formel Übung 1 — Häuser Zum Verkauf In Gemeinde Kraiburg Am Inn - Mai 2022

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Tuesday, 6 August 2024

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Das haben wir gemacht, um eine binomische Formel in unserer Gleichung zu erhalten. Jetzt wollen wir eine allgemeine Gleichung mit den Parametern p und q auf die gleiche Weise lösen. Herleitung einer Lösung die zur pq-Formel führt: Wir ergänzen zunächst allgemein mit einem Term, der uns eine binomische Formel als Teil der Gleichung liefert: Nachdem wir den quadratischen Teil auf einer Seite alleine stehen haben, können wir die Wurzel ziehen: Nachdem wir die Wurzel gezogen haben und nur noch x auf einer Seite steht, erhalten wir die PQ-Formel. Wir wollen die pq-Formel nun anwenden auf unser Beispiel: Hierbei ist in unserer Beispielgleichung p = -8 und q = 12. Nach Umformun erhalten wir die Lösungen x = 2 und x = 6, wie wir oben schon aus dem Bild ablesen konnten. Quadratische Gleichung pq-Formel Übung 1. Nicht immer kann man die Lösungen aus einem Bild ablesen. Stellt sich noch eine Frage: funktioniert die pq-Formel immer? Die Antwort lautet: ja und nein. JA: Wenn man sie richtig interpretieren kann. NEIN: Da nicht jede quadratische Gleichung lösbar ist.

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$$x_1+x_2=3+1=4 rarr$$ passt, denn $$4=-p$$ $$x_1*x_2=3*1=3 rarr $$ passt, denn $$3=q$$ Also sind $$3$$ und $$1$$ die Lösungen der Gleichungen. Satz von VIETA Die reellen Zahlen $$x_1$$ und $$x_2$$ sind genau dann Lösungen der quadratischen Gleichung $$x^2+px+q=0$$, wenn $$x_1+x_2=-p$$ und $$x_1*x_2=q$$. Beachte: $$+sqrt(p^2/4-q)-sqrt(p^2/4-q)=0$$ $$ -p/2+(-p/2)=-1/2p-1/2p=-1p$$ Wende die binomische Formel an: $$(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$$ $$a=-p/2$$ und $$b=sqrt(p^2/4-q$$

3 Lösungsmöglichkeiten Ob eine quadratische Gleichung 1, 2 oder keine Lösung hat, kannst du ganz systematisch betrachten. Wurzel und Diskriminante Für die Lösung einer quadratischen Gleichung mit der Lösungsformel ist der Term unter der Wurzel entscheidend. Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante. Diskriminante $$D=(p/2)^2-q$$ Lösungsformel: $$x_1, 2=-p/2+-sqrt(D)$$ Fallunterscheidung 1. Fall: $$D>0$$: Gleichung hat 2 Lösungen $$ x_1=-p/2+sqrt(D)$$ und $$x_2=-p/2-sqrt(D) $$ Beispiel: $$x^2-2·x-8=0$$ $$p=-2$$ und $$q=-8$$ $$D=1^2-(-8)=1+8=9>0 rArr $$ zwei Lösungen $$ x_1=1+sqrt(9)=4$$ $$x_2=1-sqrt(9)=-2$$ Lösungsmenge $$ L={4;-2} $$ 2. Fall: $$D=0$$: Gleichung hat genau 1 Lösung $$x=-p/2+-sqrt(0)=-p/2$$ Beispiel: $$0=x^2+6·x+9$$ $$p=6$$ und $$q=9$$ $$D=3^2-9=9-9=0 rArr$$ eine Lösung $$x=-6/2=-3$$ Lösungsmenge $$ L={-3} $$ 3. SchulLV. Fall: $$D<0$$: Gleichung hat keine Lösung Beispiel: $$x^2+3·x+4=0$$ $$p=3$$ und $$q=4$$ $$D=1, 5^2-4=2, 25-4=-1, 75<0 rArr$$ keine Lösung Lösungsmenge: $$ L={$$ $$}$$ Die Lösung der quadratischen Gleichung $$0=x^2+p·x+q$$ in Normalform hängt nur von den Koeffizienten (Zahlen) $$p$$ und $$q$$ bzw. von der Diskriminante $$D$$ ab.

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