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Bei einem ausgedehnten Körper addieren sich die Trägheitsmomente aller (kleinen) Massen bzw. Massenpunkte; im Grenzfall einer kontinuierlich verteilten Masse hat man es mit einem Integral über die gesamte Masse sowie deren unterschiedlichen Abständen zur Drehachse zu tun. In manchen Fällen ist das "Knacken" eines solchen Integrals erheblicher mathematischer Aufwand. Eine Hantel rotiert - so können Sie vorgehen Vereinfachen Sie zunächst das Problem. Formeln & Herleitung für Massen-Trägheitsmomente - DI Strommer. Im betrachteten Fall bestehe die Hantel aus einer Stange, deren Masse im Verhältnis zu den beiden an ihren Enden befindlichen Kugeln vernachlässigt werden soll (ansonsten müssen Sie noch zusätzlich das Trägheitsmoment einer rotierenden Stange berechnen). Das Trägheitsmoment ist ein Maß für den Widerstand, den Körper einer Drehbewegung entgegensetzen. … Die Hantel rotiert um eine Achse, die durch die Mitte der Stange geht und senkrecht zu dieser ist. Die beiden Kugeln haben eine identische Masse m sowie den Abstand r zur Drehachse. Vernachlässigt ist hier ebenfalls die Ausdehnung der Kugeln, was zu unterschiedlichen Drehachsenabständen und einer Integration führen würde.
5: Zylinder Für einen Zylinder der Höhe und der Masse erhält man () Die Integration kann leicht in Zylinderkoordinaten ausgeführt werden Das Trägheitsmoment eines Zylinders lässt sich also mit einem Stapel von kreisförmig-en Scheiben der Dicke vergleichen. Für das Trägheitsmoment bezogen auf eine Drehachse senkrecht zur z-Achse erhält man und mit dann Offenbar zeichnen sich die gewählten Achsen als Symmetrieachsen des Zylinders aus. In diesem Fall gilt für ein beliebiges Deviationsmoment (z. B. ) schließlich Wir werden sehen, dass die Deviationsmomente für eine Drehachse, die gleichzeitig eine Symmetrieachse des Körpers ist, immer verschwinden. In diesem Fall ist der Trägheitstensor diagonal (Bezüglich der Symmetrieachse des Zylinders). (iv) Homogene Kugel Abbildung 7. Trägheitsmoment einer Hantel - Anleitung. 6: Kugel Zur Berechnung des Trägheitsmoments einer Kugel mit Radius und Masse wählt man Kugelkoordinaten mit Aus Symmetriegründen sind die Trägheitsmomente alle gleich, d. h. es gilt exemplarisch (v) Homogener Quader Abbildung 7.
Damit wird 10 zu: Masse des Zylinders mit Radien ausgedrückt Anker zu dieser Formel Damit können wir jetzt die Zylindermasse 11 in die Gleichung 9 für das Trägheitsmoment einsetzen. Stelle als erstes Gl. 11 nach \(\left( r_{\text e}^2 - r_{\text i}^2 \right)\) um und setze das Ergebnis in Gl. 9 ein: Das ist das gesuchte Trägheitsmoment \(I\) ausgedrückt mit den gegebenen Größen. Aus der Formel für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders können wir auch das Trägheitsmoment eines ausgefüllten Zylinders (Vollzylinder) leicht bestimmen. Im Fall eines Vollzylinders ist der Innenradius \( r_{\text i} = 0 \). Illustration: Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert. Da wir dann nur einen Radius in der Formel haben, können wir zur Verschönerung der Formel statt \( r_{\text e} \) kurz \( r \) schreiben. Das \(r\) ist dann der Radius des Vollzylinders. Dann bekommen wir:
Grundlagen Theoretische Grundlagen des Versuches sind die Definition des Drehimpulses für ein System von Massenpunkten mit den Ortsvektoren und den Impulsen im Laborsystem und die Kreiselgleichung die die zeitliche Ableitung des Drehimpulses mit dem Drehmoment verknüpft. Wir nehmen an, dass die Massenpunkte zu einem starren Körper gehören und ein Punkt dieses Körpers im Raum (Laborsystem) festliegt. Dann gibt es stets eine momentane Drehachse, die sich aber im Allgemeinen sowohl im Raum als auch in Bezug auf die inneren Koordinaten des Körpers verlagern kann. Mit diesen Voraussetzungen kann man leicht zeigen, dass die Geschwindigkeiten der Massenpunkte im raumfesten System gegeben sind durch: wobei der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ist, und der Ortsvektor der Massenpunkte im körperfesten System. Setzt man Gl. (81) in Gl. (79) ein, so ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, welches nach Transformation auf die Hauptachsen die folgende Form annimmt: Die Größen, und sind die Komponenten des Drehimpulses bezüglich der Hauptträgheitsachsen, und, und die Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit.
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