Addition Komplexer Zahlen In Der Kartesischer Form – Bk-Unterricht - Virtuelle Stadtführung Muenchen.De

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Erst im Zusammenspiel mit der imaginären Einheit i entsteht die komplexe Zahl. Der imaginäre Einheit i entspricht geometrisch eine 90 Grad Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Komplexe Zahl als Zahlenpaar Eine komplexe Zahl kann als reelles Zahlenpaar bestehend aus Real- und Imaginärteil angeschrieben werden. \(z = (a\left| b \right. )\) Komplexe Zahl in Polarform, d. h. mit Betrag und Argument Für die Polarform gibt es die trigonometrische und die exponentielle Darstellung. \(\eqalign{ & z = \left| z \right| \cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi) \cr & z = r{e^{i\varphi}} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi}} \cr}\) Dabei entspricht Betrag r dem Abstand vom Koordinatenursprung Argument \(\varphi\) dem Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt z Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung Eine komplexe Zahl z in trigonometrischer Darstellung wird mittels Betrag r und den Winkelfunktionen cos φ und sin φ dargestellt. \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) Komplexe Zahl in exponentieller Darstellung Komplexe Zahlen in exponentieller Darstellung werden mit Hilfe vom Betrag r=|z| und dem Winkel φ als Exponent der eulerschen Zahl e dargestellt.

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Definition Basiswissen z = a + bi: dies ist die kartesische oder algebraische Darstellung einer komplexen Zahl. Damit lassen sich vor allem gut die Addition und Subtraktion durchführen. Das ist hier kurz vorgestellt. Darstellung ◦ z = a + bi Legende ◦ z = komplexe Zahl ◦ a = Reeller Teil (auf x-Achse) ◦ b = imaginärer Teil (auf y-Achse) ◦ i = Wurzel aus Minus 1 Umwandlungen => Kartesische Form in Exponentialform => Exponentialform in kartesische Form => Kartesische Form in Polarform => Polarform in kartesische Form Rechenarten => Komplexe Zahl plus komplexe Zahl => Komplexe Zahl minus komplexe Zahl Tipp ◦ Komplexe Zahlen werden oft mit einem kleinen z bezeichnet. Synonyme => algebraische Darstellung => kartesische Darstellung

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Umwandlung Basiswissen r mal e hoch (i mal phi) ist die Exponentialform einer komplexen Zahl. Die kartesische Form ist a+bi. Hier ist die Umwandlung kurz erklärt. Umwandlung ◦ Exponentialform: r·e^(i·phi) ◦ Kartesische Form: r·cos(phi) + r·sin(phi) Legende ◦ r = Betrag der Zahl, Abstand zum Ursprung ◦ e = Eulersche Zahl, etwa 2, 71828 ◦ i = Imaginäre Einheit ◦ phi = Argument der komplexen Zahl In Worten Man nimmt die Exponentialform und berechnet zuerst das Produkt aus dem Betrag r und dem Cosinus des Arguments phi. Das gibt den Realteil der kartesischen Form. Dann berechnet man das Produkt aus dem Betrag r und dem Sinus des Arguments phi. Das gibt den Imaginärteil der komplexen Zahl. Die Umkehrung Man kann auch umgekehrt eine kartesische Form umwandeln in die Exponentialform. Das ist erklärt unter => kartesische Form in Exponentialform

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Die exponentielle Darstellung hat den Vorteil, dass sich die Multiplikation bzw. Division zweier komplexer Zahlen auf das Durchführen einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen. \(\eqalign{ & z = r{e^{i\varphi}} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi}} \cr & {e^{i\varphi}} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr}\) Diese Darstellungsform nennt man auch exponentielle Normalform bzw. Euler'sche Form einer komplexen Zahl. \({z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\) \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}\) Umrechnung von komplexen Zahlen Für die Notation von komplexen Zahlen bieten sich die kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler'sche Darstellung an.

Über Evelyn Schirmer Evelyn Schirmer ist wissenschaftliche Mitarbeiterin, Mathematikerin und promoviert über die Wirksamkeit konfliktinduzierender interaktiver Videos in Bezug auf die Reduktion von Fehlermustern aus der Grundlagenmathematik. Sie interessiert sich für die Entwicklung theoriebasierter didaktischer Designs und die Umsetzung mit Hilfe digitaler Medien.

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