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Methode Der Kleinsten Quadrate Beispiel – Schweinefilet Mit Pilzen Im Blätterteig

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Sunday, 4 August 2024

Methode der kleinsten Fehlerquadrate.. rt und von a-z exemplarisch durchgerechnet... erforderliche Vorkenntnisse: Grundlagen der Differentialrechnung (Ableitungen, Extremwertbestimmung) Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate dient in der Mathematik u. A. dazu, aus einer Reihe von Messwerten ein Gesetz zu erschlieen oder voraussagen ber weitere Messwerte zu treffen. Mit einem Beispiel lsst sich die Idee am besten veranschaulichen: Nehmen wir an, die folgenden 4 Messwerte wurden bei einem Experiment aufgenommen: x y z. B. Zeit in Sekunden z. zurckgelegte Wegstrecke 1 1. 41 2 1. 60 3 2. 05 4 2. 22 oder noch einmal anders formuliert, haben wir 4 Punkte im xy-Koordinatensystem: $$\begin{eqnarray} P_1 = \left(\begin{array}{c} P_1x \\ P_1y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1. 41 \end{array}\right) \\ P_2 = \left(\begin{array}{c} P_2x \\ P_2y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1. 60 \end{array}\right) \\ P_3 = \left(\begin{array}{c} P_3x \\ P_3y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2.

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Abbildung 2: Die vertikalen Abstnde der Messwerte zu einer idealisierten Geraden. Resudien (grn) Diese (vertikalen) Fehler zwischen Messpunkt und Funktionswert von f(x) nennt man Residuum (plural Residuen). Um mit diesen Abstnden arbeiten zu knnen, muss man die Geradenfunktion zunchst gar nicht kennen. In unserem Beispiel mit 4 Messpunkten gibt es 4 Resudien, die als Abstnde (=Differenzen=Fehler) wie folgt aufgestellt werden: $r_1 = f(P_{1x}) - P_{1y} = mP_{1x} + b - P_{1y}$ (2. 1) $r_2 = f(P_{2x}) - P_{2y} = mP_{2x} + b - P_{2y}$ (2. 2) $r_3 = f(P_{3x}) - P_{3y} = mP_{3x} + b - P_{3y}$ (2. 3) $r_4 = f(P_{4x}) - P_{4y} = mP_{4x} + b - P_{4y}$ (2. 4) Ein kleiner "mathematischer Trick" wird als Ergnzung angewandt: Die Abstnde werden quadriert ("Methode der kleinsten FehlerQUADRATE"). Damit erreicht man zwei Dinge: Erstens sind die Werte von $r_1^2.. r_4^2$ immer positiv und man muss nicht zustzlich unterscheiden, ob der Messpunkt ober oder unterhalb der Geraden liegt und zweitens wirkt sich ein "groer" Fehler an einem Messpunkt strker auf die zu ermittelnde Gerade aus als zwei halb so groe an zwei anderen Messpunkten.

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der Schuhgröße etwas abgeändert (da diese zu schön sind, d. h. perfekt auf einer Linie liegen – und damit existieren keine Differenzen). Das Streudiagramm für die 3 Messdaten inkl. der Regressionsgeraden (mit der auf den abgeänderten Daten basierenden Funktion: y i = α + β × x i = 34 + 0, 05 × x i): Anton hat eine Schuhgröße von 42, die lineare Regressionsfunktion berechnet für ihn einen "theoretischen" Wert von 34 + 0, 05 × 170 = 42, 5 (bei 170 cm Körpergröße geht die Gerade durch den y-Wert (Schuhgröße) 42, 5). Die "vertikalen Differenzen" zwischen den tatsächlichen Werten und den Werten auf der Regressionsgeraden sind die sog. Residuen, hier für Anton 42 - 42, 5 = -0, 5 (für Bernd und Claus sind die Residuen entsprechend 44 - 43 = 1, 0 sowie 43 - 43, 5 = - 0, 5). Laut der Methode der kleinsten Quadrate ist die am beste passende Ausgleichsgerade diejenige, die die Summe der quadrierten Abstände für alle Datenpunkte minimiert. Das ist die oben eingezeichnete Linie, die analog dem Beispiel zur linearen Regression berechnet wurde.

Verwendet man das Summenzeichen, wird die Funktion gleich bersichtlicher: $\frac{dF(m, b)}{dm} = \left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}^2\right)m + \left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}\right)b + \left(-2\sum_{i=0}^4\left(P_{ix}P_{iy}\right)\right) $ (5. 3 m) $\frac{dF(m, b)}{db} = \left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}\right)m + \left(4\cdot2\right)b + \left(-2\sum_{i=1}^4P_{iy}\right)$ (5. 3 b) Nur nochmal als Hinweis: die 4 entspricht der Anzahl der Messpunkte und die Formel gilt mit mehr Sttzpunkten analog. Jezt werden die beiden Ableitung gleich 0 gesetzt und nach m und b aufgelst: $0 = \left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}^2\right)m_{min} + \left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}\right)b_{min} + \left(-2\sum_{i=0}^4\left(P_{ix}P_{iy}\right)\right) $ (5. 4 m) $0 = \left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}\right)m_{min} + \left(4\cdot2\right)b_{min} + \left(-2\sum_{i=1}^4P_{iy}\right)$ (5. 4 b) $m_{min} = \frac{-\left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}\right)b_{min} - \left(-2\sum_{i=0}^4\left(P_{ix}P_{iy}\right)\right)}{\left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}^2\right)}$ (5. 5 m) $b_{min} = \frac{-\left(2\sum_{i=1}^4P_{ix}\right)m_{min} - \left(-2\sum_{i=1}^4P_{iy}\right)}{ \left(4\cdot2\right)}$ (5.

Anmeldung Registrieren Forum Ihre Auswahl Herzen Einkaufsliste Newsletter Schwierigkeit Kochdauer Mehr Eigenschaften - Menüart Hauptspeise Region Zutaten Portionen: 4 Zubereitung Für den Lungenbraten im Blätterteig die Champignons dünn schneiden, Thymian hacken. Zwiebel fein schneiden und im Olivenöl glasig andünsten. Champignons und Thymian dazugeben und etwa 10 Minuten dünsten, bis die entstandene Flüssigkeit wieder verkocht ist. Salzen, Petersilie dazumischen und auskühlen lassen. Lungenbraten putzen, gut trocken tupfen und pfeffern. Knoblauch fein hacken. Schweinefilet mit pilzen im blätterteig herzhaft. Olivenöl mit den Rosmarizweigen in einer Pfanne erhitzen und den Lungenbraten rundherum darin kurz anbraten. Knoblauch dazugeben, Fleisch darin wenden und ebenfalls etwas auskühlen lassen. Backrohr auf 220 °C Ober- und Unterhitze vorheizen. Blätterteig aufrollen und die Hälfte der Champignons in der Mitte platzieren, sodass das Fleischstück genau darauf passt. Lungenbraten auf die Champignons legen und die restlichen Pilze darauf verteilen.

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Steinpilze in kaltem Wasser einweichen. Filet salzen, pfeffern, in 2 EL heißem Öl anbraten, herausnehmen und etwas abkühlen lassen. Zwiebel schälen, fein hacken. Champignons klein würfeln. Petersilie hacken. Thymianblättchen abzupfen. Im restlichen heißen ÖL, Zwiebeln und Champignons dünsten. Steinpilze ausdrücken, klein schneiden und dazugeben. Kräuter und Sahne unterrühren. Salzen, pfeffern. Blätterteig zu einem Rechteck ausrollen. Pilzmasse darauf verteilen, Rand freilassen. Filet darauf setzen und den Teig darüber schlagen, Ränder fest andrücken. Fleisch im Blätterteig auf ein mit Backpapier ausgelegtes Blech setzen. Im vorgeh. Ofen bei 225 Grad 15 Min. backen. Eigelb mit 2 EL wasser glatt rühren. Blätterteig mit der Hälfte bestreichen und weitere 10 Min. backen. Schweinefilet mit pilzen im blätterteig tannenbaum. 3/8 Liter Wasser mit 1/2 TL Salz aufkochen, vom Herd nehmen, Milch zufügen und Beutelinhalt Kartoffel Pürree einrühren. Mit Pfeffer und Muskat würzen. In einen Spritzbeutel mit großer Sterntülle füllen und auf ein Blech 24 Rosetten spritzen.