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Das tut mir leid aber das sind die kleinen Leichtsinnsfehler die man sehr leicht übersieht;-). Es folgt also: ( z - 1) ( z - 2) ( z + 2) ( z - i) ( z + 1) Nochmal entschuldigung. Werde ab sofort besser aufpassen:-) 04:59 Uhr, 18. 2015 Da is immernoch der Wurm drin. Linearfaktorzerlegung komplexe zahlen. Nichtreelle Nullstellen treten grundsätzlich konjugiert komplex auf. 08:10 Uhr, 18. 2015 Hallo Dotile, deine Polynomdivision durch (z-2) ist fehlerhaft. z=2 IST KEINE NULLSTELLE! Es gilt z 4 + 3 z 2 - 4 = ( z 2 - 1) ( z 2 + 4) (davon kannst du dich durch ausmultiplizieren der rechten Seite überzeugen). Wenn das jetzt Null sein soll gilt entweder z²-1=0 (mit zwei reellen Lösungen) oder z²+4=0 (mit zwei imaginären Lösungen).
Damit ist gezeigt, dass sich in den reellen Zahlen jedes Polynom in ein Produkt aus linearen und quadratischen Faktoren zerlegen lässt. Zum Beispiel hat das Polynom die reelle Nullstelle und die konjugiert komplexen Nullstellen. Linearfaktorzerlegung von Fkt. mit komplexen Zahlen im Bereich z^6 | Mathelounge. In den reellen Zahlen lautet seine Faktorisierung. Rationale und ganzzahlige Polynome [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten existieren verschiedene Irreduzibilitätskriterien, wie zum Beispiel das Eisensteinkriterium, um festzustellen, ob sie in irreduzibel sind. Die Bestimmung der rationalen Nullstellen eines Polynoms lässt sich algorithmisch in endlich vielen Schritten lösen, denn für jede Nullstelle gilt, dass ein Teiler von und ein Teiler von ist (siehe Satz über rationale Nullstellen). Beispielsweise findet man bei dem Polynom durch Ausprobieren aller Möglichkeiten die rationale Nullstelle. Polynomdivision ergibt und das Polynom ist nach dem Eisensteinkriterium (mit der Primzahl 2) irreduzibel, so dass sich schließlich die ganzzahlige Faktorisierung ergibt.
Algorithmen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] B. A. Hausmann beschrieb 1937 eine Anwendung des Algorithmus von Kronecker. Elwyn Berlekamp veröffentlichte 1967 den Berlekamp-Algorithmus, mit dem Polynome über dem Restklassenkörper faktorisiert werden können. 1992 entdeckte Harald Niederreiter eine weitere Möglichkeit, Polynome über endlichen Körpern zu faktorisieren, auf ihn geht der Niederreiter-Algorithmus zurück. Linearfaktorzerlegung Komplexe Zahlen Sinn | Mathelounge. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Online-Tool zum Faktorisieren
Aufgabe 1: Gegeben ist das Polynom: $$ P(z)=z^{4}-4 z^{3}+6 z^{2}-16 z+8, \quad z \in \mathbb{C} $$ ich soll von folgender Aufgabe eine Linearfaktorzerlegung vornehmen. Verstehe nur nicht wie ich auf die Nullstellen kommen soll. Normalerweise war immer wine gegeben womit ich dann das Hornerschema oder Polynomdivision durchführen konnte. Und durchs Nullstellen "raten" kam ich auch nicht wirklich weiter. Danke für die Hilfe