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Ich weiß einfach nicht so recht, was da verlangt ist. Könntest du es mir bitte an dem von dir gewählten Teilintervall vorstellen? 23. 2010, 20:00 Dass der Betrag immer positiv ist stimmt. Wichtig ist aber, was das Argument des Betrags macht. Schade ist, dass du auf den Tipp, die Definition des Betrags zu bemühen, nicht eingegangen bist. Wie wäre es, wenn du einfach mal die Definition des Betrags hinschreibst? Wie gesagt: Dein Ziel ist es, den Integranden ohne Betrag hinzuschreiben, denn dann kannst du die Funktion ganz normal integrieren. Stammfunktion von Betragsfunktion g(x):= | f'(x) - f(x) | | Mathelounge. Und dies schafft man dadurch, dass man das Argument des Betrags auf Teilintervallen betrachtet. 23. 2010, 20:27 Naja, der Betrag von x = x, wenn x größer gleich Null = -x, wenn x kleiner gleich Null. Deswegen meinte ich ja, dass in dem Teilintervall (0, 1) eigentlich alles so bleibt wie es ist und ich einfach x^2-x schreiben kann oder nicht? Völlig korrekt. Und genauso untersuchst du die anderen Intervalle. Anzeige 23. 2010, 20:33 Hallo Airblader, also ist für das Teilintervall (0, 1) eine Stammfunktion: F(x)=1/3x^3 - 1/x x^2 + c?!
Definition: Eine Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn die Funktionen f und F einen gemeinsamen Definitionsbereich D f ( = D F) besitzen und für alle x ∈ D f gilt: F ' ( x) = f ( x) Für die weiteren Überlegungen ist die folgende Aussage bedeutsam: f ist eine konstante Funktion genau dann, wenn für jedes x gilt: f ' ( x) = 0 Beweis: Die Aussage besteht aus zwei Teilaussagen: a) Wenn f eine konstante Funktion ist, so gilt f ' ( x) = 0 für jedes x. b) Wenn f ' ( x) = 0 für jedes x gilt, so ist f eine konstante Funktion. Die Gültigkeit von a) ergibt sich unmittelbar aus der Konstantenregel der Differenzialrechnung. Es muss deshalb nur noch Teilaussage b) bewiesen werden: Voraussetzung: Für jedes x gelte f ' ( x) = 0. Behauptung: f ist eine konstante Funktion. Es wird gezeigt, dass unter der angegebenen Voraussetzung die Funktionswerte von f an beliebigen Stellen a und b übereinstimmen, d. Betragsfunktionen integrieren | Mathelounge. h., dass stets f ( a) = f ( b) gilt, wie man a und b auch wählt. Wir wenden für den Nachweis den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung an.
Darunter versteht der Aufgabensteller wahrscheinlich eine geschlossene Funktion. Zu diesem Zweck kannst du die Signumfunktion verwenden. Und damit du siehst, wo sie ins Spiel kommt, habe ich dir das oben mal ganz ordentlich umgeschrieben. Und noch ein Hinweis: Für das Argument der Signumfunktion kannst du dir mal das Argument des Betrags der integrierten Funktion anschauen. 23. 2010, 21:26 AD Das würde ich so deuten, dass die auf ganz gelten soll. Also auch für... 23. 2010, 21:27 Hallo Air, dankeschön. Ich versuche es dann glaueb ich morgen in Ruhe zu verstehen. Aber, da du ja scheinbar checkst, worum es geht, möchte ich dir nachfolgende Informationen, die man zur Lsg. der AUfgabe nutzen soll nicht vorenthalten. 1. Aus den Stammfunktionen soll eine Funktion F gebildet werden, die für alle x stetig ist. 2. Stammfunktion von betrag x 10. F'(x)=f(x) für alle x außer 0 und 1 3. Zu beweisen: F'(0)=f(0) sowie F'(1)=f(1) Liebe Grüße, Sandie 23. 2010, 21:34 @ Arthur Ach herrje. Jetzt bin ich schon zu doof x=1 richtig in die beiden Stammfkt.
einzusetzen... ich hatte da nämlich mal locker Null raus... @ Sandie Schau dir mal die Stammfunktionen an (die rote Linie gilt für [0, 1], die grüne für den Rest): Du siehst, dass bei x=0 beide angrenzenden Stammfkt. ineinander übergehen, F ist dort also stetig und wir haben kein Problem. Bei der anderen Problemstelle x=1 haben wir aber wirklich ein Problem: Die Stammfunktion "springt" plötzlich, was sie nicht darf. Deine Aufgabe: Verschiebe die dritte Stammfunktion (also die für (1, oo)) so, dass sie stetig an die mittlere Stammfunktion (also die für [0, 1]) anknüpft. Anmerkung: Zu einer Stammfunktion darfst du ja Konstanten dazuaddieren, die nichts ausmachen, da sie beim Ableiten wieder wegfallen würden. 23. Stammfunktion von betrag x.com. 2010, 21:40 Also, die ersten beiden Stammfunktionen für die Teilintervalle stimmen?! Und die dritte ändere ich durch eine Zahl c ab. c ist laut Skizze dann so ca. - 1/3 (also vom Grobverständnis her erstmal. Ist das okay? 23. 2010, 21:48 Ja, kommt etwa hin. Womit du eher 1/3 draufaddieren musst als abziehen.
Wichtige Inhalte in diesem Video Hier lernst du alles zur Differenzierbarkeit und wie du sie schnell und einfach nachweisen kannst. Du hast keine Lust soviel zu lesen? Dann schau dir doch einfach unser Video an! Differenzierbarkeit einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:14) Differenzierbarkeit ist eine wichtige Eigenschaft von stetigen Funktionen. Du kannst eine nicht differenzierbare Funktion an einem Knick in ihrem Graphen erkennen: direkt ins Video springen Differenzierbare und nicht differenzierbare Funktion Allgemein nennst du eine Funktion an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert: Das bedeutet, er ist kleiner als unendlich. Stammfunktion betrag von x. Differenzierbarkeit Definition Eine Funktion ist an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn Diesen Limes nennst du auch Differentialquotienten. Er gibt dir die Ableitung an der Stelle x 0 von f an. Du bezeichnest deine Funktion als differenzierbar, wenn du sie an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge differenzieren kannst.
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