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Eine Handlungsanweisung ist nötig Zugegeben, die mathematische Formulierung des Cavalierischen Prinzips ist nicht leicht zu verstehen. Aber wie kann man prüfen, ob wirklich zwei gegebene Körper den gleichen Rauminhalt haben? Zunächst prüfen Sie, ob die beiden Körper die gleiche Höhe haben. Dies ist ein besonders einfacher Fall für die Anwendung des Satzes. Der Höhensatz des Euklid wird oft als mathematisches "Anhängsel" zum Satz des Pythagoras … Nun legen Sie parallel zur Grundfläche der beiden Körper in gleichen Abständen Schnitte durch diese. Sie erhalten eine Anzahl von Schnittflächen bzw. Querschnittsflächen. Jetzt müssen Sie prüfen, ob diese Querschnittsflächen gleich groß sind, auf die Form der einzelnen Querschnittsflächen kommt es dabei gar nicht an, nur auf die Größe. Bei Flächengleichheit haben die beiden Körper dann das gleiche Volumen. Eine einfache Anwendung Cavalieris Satz gilt im Prinzip für alle möglichen Körper, also auch für Körper, deren Begrenzung nicht plane Ebenen, sondern "irgendwelche" gekrümmten Flächen darstellen, wie es beispielsweise bei einer verbogenen Dose oder einer eingedellten Flasche vorkommen kann (Inhaltsgleichheit vorausgesetzt!
Hallo. Ich weiß, was der Satz des Cavalieri besagt. Nun haben wir eine Aufgabe, in der wir begründen sollen, warum der Satz von Cavalieri nicht umkehrbar ist. Ich habe erstmal gesucht, was Umkehrbarkeit in der Mathematik überhaupt bedeutet, und finde dort nur Sachen in Bezug mit einer Funktion. Der Satz von Cavalieri ist ist aber keine Funktion. Oder sehe ich das falsch? Wäre wirklich sehr sehr nett, wenn mir jemand sagen würde, warum der Satz von Cavalieri nicht umkehrbar ist LG Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet Topnutzer im Thema Schule Die Umkehrung besagt "Wenn zwei Körper das gleiche Volumen haben, müssen nicht alle ihre Schnittflächen in entsprechender Höhe dieselbe Fläche haben. " Das beweist man ganz einfach mit einem Doppelkegel: Die beiden Kegel kann man mit den Grundflächen oder mit den Spitzen aufeinandersetzen. Die beiden Körper haben das gleiche Volumen, aber die Schnittflächen sind überall verschieden. Usermod Community-Experte Mathematik Nimm doch einfach eine Kugel und einen Würfel mit gleichem Volumen.
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Das cavalierische Prinzip ist ein sehr hilfreiches Mittel, um bei einer Vielzahl von Körpern das Volumen (=Rauminhalt) zu bestimmen. Wenn wir uns diesen Flakon anschauen, so scheint die Berechnung des Volumens eines solchen geschwungenen Körpers keine einfache Sache zu sein. Mithilfe des Prinzips von Cavalieri wird es aber ganz einfach: Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt der Grundfläche – ein einfaches Rechteck – und multiplizieren das Ergebnis mit der Höhe des Flakons. Also hat dieser geschwungene Flakon dasselbe Volumen wie ein Quader mit derselben Grundfläche und derselben Höhe. Hier ist ein erster Hinweis zum Verständnis. Der geschwungene, der schiefe Stapel aus den gleichen Sperrholzquadraten haben natürlich dasselbe Volumen wie der Quader, der entsteht, wenn man dieselben Quadrate vertikal aufeinander stapelt. Kommen wir der Sache – dem Prinzip – noch näher: Wir betrachten zwei Notizblöcke, bei denen die Stufen wesentlich dünner sind, fast nicht zusehen: Ohne Zweifel wird der geneigte Mathotheksbesucher hier sofort erkennen, dass der "geschwungene" Quader links das gleiche Volumen wie der "gerade" Papierquader rechts besitzt.
Diese legst du nebeneinander. Die Teilflächen des Würfels werden immer gleich sein, die der Kugel werden bis zur Mitte zunehmen und von da wieder abnehmen. Es lässt sich zudem leicht einsehen, dass es eine Ebene geben muss zu der gesehen beide Körper die gleiche Höhe haben, denn sonst wird ab einer gewissen höhe einer der Körper gar nicht mehr geschnitten. Die Aufgabe zielt meiner Meinung nach gar nicht darauf ab, die Unumkehrbarkeit zu beweisen, sondern sie soll überprüfen, ob du den Satz verstanden hast. Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik
Mathematik 9. ‐ 8. Klasse Das Cavalieri-Prinzip (nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri) besagt, dass sich das Volumen eines Körpers nicht ändert, wenn man einzelne parallele, inhaltsgleiche Schichten gegeneinander verschiebt (in ähnlicher Weise bleibt auch die Fläche eines Parallelogramms gleich, wenn man die parallelen Seiten gegeneinander verschiebt). Ein einfaches Beispiels ist ein Kartenstapel: Ob die Karten säuberlich gestapelt oder durch einen Stoß oder Dreh verformt sind – an seinem Volumen ändert dies nichts. Etwas formaler kann man das Cavalieri-Prinzip auch folgendermaßen ausdrücken: Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn ihre Schnitte in jeweils gleichen Höhen flächengleich sind.
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