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Algorithmensammlung: Numerik Dividierte Differenzen Hermiteinterpolation Horner-Schema Quadratur Gauß-Jordan-Algorithmus Inverse Matrix Determinante Gauß-Jordan-Algorithmus [ Bearbeiten] Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mithilfe von Zeilenumformungen (Zeilentausch, Subtraktion einer anderen Zeile). Näheres siehe Gauß-Jordan-Algorithmus. Pseudocode [ Bearbeiten] Der hier skizzierte Algorithmus setzt eine invertierbare Koeffizientenmatrix m voraus, also ein eindeutig lösbares Gleichungssystem.
Denkt man sich die erste Spalte und die erste Zeile weg, so erhält man ein kleineres LGS. Wende jetzt den Algorithmus von vorne auf das kleinere LGS an. Ergebnis ist eine Treppenform der Matrix, insbesondere stehen unter der Diagonale nur Nullen. Wende die oberen Schritte von vorne an, mit der rechten unteren anstatt linken oberen Zahl als Startpunkt. Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix und die Zahlen rechts vom Trennstrich ist die Lösung des LGS. Ein Beispiel Schritt für Schritt Gegebenes LGS: Schritt 1: Nicht nötig. Schritt 2: Wir dividieren die erste Zeile durch -2. Gauß-Jordan-Algorithmus - Matheretter. Im Folgenden verwendete Kurzschreibweise: I = I /(-2) Schritt 3: Damit die erste Zahl in der zweiten Zeile Null wird, müssen wir von der zweiten Zeile das dreifache der ersten Zeile abziehen. II = II – 3*I Von der dritten Zeile muss das vierfache der ersten Zeile abgezogen werden. III = III – 4*I Schritt 4: Man denkt sich die erste Zeile und die erste Spalte weg und beginnt beim 1. Schritt. Entfällt, weil in der zweiten Zeile an der zweiten Stelle bereits keine Null steht.
108 womit die gesuchte Lösung bereits vorliegt. Zur Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus wird das Gleichungssystem in ein Schema nach Gl. 109 überführt: \(\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11}}}&{ {a_{12}}}&{... }&{ {a_{1K}}} { {a_{21}}}&{ {a_{22}}}&{... }&{ {a_{2K}}} {... }&{... } { {a_{I1}}}&{ {a_{I2}}}&{... }&{ {a_{IK}}} \end{array}} \right|\left. {\begin{array}{cc} {\, \, \, \, {c_1}} {\, \, \, {c_2}}\\{... } {\, \, \, \, {c_I}} \right| \) Gl. 109 Nun wird durch geeignetes Multiplizieren von Zeilen und Addieren zu anderen Zeilen das Schema einer Diagonaldeterminante erreicht. Da bei dieser Operation auch die Störungsglieder c ik betroffen sind, gelten die Einschränkungen, die für Manipulationen an Determinanten gelten, nicht. Es dürfen also alle Zeilen mit beliebigen Faktoren multipliziert oder durch Dividenten dividiert werden, ohne dass sich der Wert des Gleichungssystems verändern würde! Im Ergebnis wird {\begin{array}{cc}{a_{11}^*}&0&{... Gauß jordan verfahren rechner basketball. }&0\\0&{a_{22}^*}&{... }&0\\{... }\\0&0&{... }&{a_{IK}^*}\end{array}} {\begin{array}{cc}{\, \, \, \, c_1^*}\\{\, \, \, c_2^*}\\{... }\\{\, \, \, \, c_I^*}\end{array}} Gl.
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Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus lässt sich eine Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform bringen. Dies ist sinnvoll, wenn die Matrix aus den Vorfaktoren der einzelnen Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems ermittelt wurde, um die Zahlwerte der Unbekannten zu ermitteln (siehe Beispiel zur Ermittlung einer Matrix aus einem linearen Gleichungssystem). 1. Suchen der 1. Zeile von oben und Spalte von links, in der mindestens ein Wert, der ungleich 0 ist, steht 2. Vertauschen der 1. Zeile mit dieser Zeile, wenn die Zahl in der gewählten Spalte der gewählten Zeile gleich 0 ist 3. Dividieren der 1. (gewählten) Zeile durch die Zahl in der 1. Gauß jordan verfahren rechner 2019. gefüllten Spalte der 1. Zeile 4. Subtrahieren entsprechender Vielfacher der 1. Zeile von den anderen Zeilen bis die Zahl in der 1. Spalte jeder Zeile gleich 0 ist 5. Streichen der 1. Zeile und Spalte zum Erhalten einer Restmatrix; weiter mit Schritt 1, bis die Matrix in Zeilenstufenform ist 6. Subtrahieren entsprechender Vielfacher anderer Zeilen bis in jeder Zeile möglichst wenige von 0 verschiedene Zahlen stehen
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