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Formel aufschreiben Zunächst musst du dir überlegen, nach welcher Zeile oder Spalte du entwickeln willst. Dabei ist es egal, für welche Zeile oder Spalte du dich entscheidest: Am Ende kommt immer dasselbe Ergebnis heraus! Praktisch ist es aber, wenn du eine Zeile (oder Spalte) wählst, die möglichst viele Nullen hat. Dadurch reduziert sich der Rechenaufwand erheblich. Da in unserem Beispiel keine Null vorhanden ist, suchen wir uns irgendeine Zeile oder Spalte heraus. Im Folgenden wird die Determinante nach der ersten Zeile ( $i = 1$) entwickelt. $$ \begin{align*} |A| &= \sum_{j=1}^3 a_{1j} \cdot (-1)^{1+j} \cdot D_{1j} \\[5px] &= a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot D_{11} + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot D_{12} + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot D_{13} \end{align*} $$ Werte einsetzen In diesem Schritt schauen wir uns die Spalten einzeln an. Entwicklungssatz Laplace Beispiel Unklarheiten | Mathelounge. Am Ende fassen wir alles zusammen. 1.
Laplacescher Entwicklungssatz (379) Definition Für bezeichne die aus durch Streichen der -ten Zeile und -ten Spalte entstehende -Matrix. Beispiel dann folgt Satz Es gibt genau eine Abbildung mit den Eigenschaften aus Gl. (376). Man kann induktiv durch Entwicklung der -ten Spalte berechnen, d. h. es gilt die Formel für jedes. Ausgeschrieben bedeutet die Formel für jedes. Beweis Beweis durch Induktion nach Setze. Dann sind die Eigenschaften in Gl. (376) erfüllt. Wir nehmen an, dass es für -Matrizen eine Determinante gibt. Entwicklungssatz von laplace und. Wir wählen ein aus und definieren durch obige Gleichung für jedes. Zu zeigen: Die so gewonnene Abbildung hat die Eigenschaften aus Gl. (376). zu 1. ) ist linear in jeder Zeile, weil dies für jeden Summanden in der Entwicklungsformel obige Gleichung gilt. zu 2. ) Sei und. Zu zeigen. Ist dann folgt aus Gl. (363), dass Zeilenrang ist. Nach Gl. (324) gibt es dann eine Zeile von, die Linearkombination der anderen Zeilen ist, also mit. Es folgt: Die Behauptung ergibt sich nun aus folgender Eigenschaft.
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Determinante Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n, n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert. \(\det A = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}. {a_{22}} - {a_{12}}. {a_{21}}\) Eine Determinante hat den Wert Null, wenn eine Zeile bzw. eine Spalte ausschließlich aus Nullen besteht zwei Zeilen bzw. zwei Spalten eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten sind, bzw. Www.mathefragen.de - Laplace Entwicklungsatz. im einfachsten Fall ident sind Vertauscht man 2 benachbarte Zeilen oder Spalten einer Determinante, so ändert sich das Vorzeichen vom Wert der Determinante Eine Matrix A und die zugehörige transponierte Matrix A T haben dieselbe Determinante \(\det A = \det {A^T}\) Die Cramer'sche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen. Mit ihrer Hilfe kann man auch feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem überhaupt eindeutig lösbar ist, was nicht zwangsweise der Fall sein muss.
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