Kleine Sektflaschen Hochzeit
Aber was ist überhaupt diese … Die Rate aus experimentellen Daten berechnen Im zweiten Fall kennen Sie den funktionellen Zusammenhang zwischen der Größe, deren Änderungsrate Sie berechnen sollen, nicht. Mit anderen Worten: Die Funktionsgleichung fehlt. Aber Sie haben aus einer Messung Daten über den Vorgang erhalten. Nehmen Sie wieder das Beispiel mit dem Wasserbehälter von oben, bei dem Sie die Füllhöhen zu verschiedenen Zeitpunkt gemessen haben. Im Allgemeinen wird man die Messergebnisse in einem Graphen darstellen, die y-Achse ist die Füllhöhe H, die x-Achse die Zeit t. Wie sich die Größe "Füllhöhe" nun im Laufe Ihres Experiments verändert, können Sie aus diesem Graphen leicht berechnen. Für die lokale Änderungsrate müssen Sie nämlich die Geradensteigung zwischen zwei benachbarten Messpunkten berechnen. Dazu bilden Sie die Höhendifferenz H2 - H1 und teilen diesen Wert durch die Zeitdifferenz t2-t1 zwischen den beiden Messpunkten. Dieser Wert ist zunächst eine Näherung für die lokale Änderungsrate Ihrer Messgröße.
Die lokale Änderungsrate kann für jede Funktion berechnet werden. Aber was ist überhaupt diese lokale Änderungsrate? Eine Erklärung dazu finden Sie hier. Die lokale Änderungsrate ist oft die Geschwindigkeit. Was Sie benötigen: Formelsammlung Erklärung des Begriffs der lokalen Änderungsrate Die Erklärung für diesen Begriff ist ganz einfach. Die lokale Änderungsrate ist ein mathematischer Ausdruck für die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt. Handelt es sich bei dem Graphen um die Abbildung einer zeitabhängigen Funktion, so wird die lokale Änderungsrate auch momentane Änderungsrate genannt. Die Steigung einer beliebigen Funktion in einem bestimmten Punkt entspricht außerdem der Steigung der dazugehörigen Tangente, die durch diesen Punkt verläuft. So berechnen Sie die lokale Änderungsrate Da es sich bei der lokalen Änderungsrate um die Steigung handelt, können Sie diese bei einer Geraden mit der allgemeinen Funktion y = m*x + b einfach ablesen. Der Wert m, der vor dem x steht, ist die Steigung.
Video von Galina Schlundt 2:41 Die lokale Änderungsrate einer Größe gibt an, wie diese Größe sich verändert, ob sie beispielsweise ansteigt oder abfällt und wie stark dies geschieht. Mit etwas Mathematik lässt sich das Problem lösen. Was Sie benötigen: einige Mathematikkenntnisse (vor allem: Ableitung, Steigung einer Geraden) Lokale Änderungsrate aus Funktionsgleichung berechnen Der einfachste Fall, die lokale Änderungsrate einer Größe zu berechnen, liegt vor, wenn Sie die Funktionsgleichung der entsprechenden Größe haben. So könnte die Größe, zu der Sie die Änderungsrate berechnen sollen, beispielsweise der Füllstand in einem Wasserbehälter sein, der sich im Laufe der Zeit leert. Wenn Sie den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Füllstand und der Zeit haben, kann die lokale Änderungsrate leicht berechnet werden, und zwar zu jedem beliebigen Zeitpunkt. Die (lokale) Änderungsrate einer Funktion f(x) lässt sich mithilfe der ersten Ableitung dieser Funktion berechnen. Sie benötigen also f'(x).
In jedem Falle ist dann (1/4)(2 x + h) die Steigung der Geraden, die durch P und Q geht. In der ursprnglich gestellten Aufgabe in Abbildung 1 ist der Punkt P mit der x-Koordinate x =2 gegeben. Als Steigung der Geraden durch P und Q erhlt man schlielich: Setzt man jetzt fr h immer kleinere Werte ein, so erkennt man eine Folge von Zahlen, deren Grenzwert 1 ist. Der Grenzwert dieser Steigungen ist dann die Steigung im Punkt P. Es ist klar, dass zum Verstndnis ein exakter Begriff des Grenzwertes vorliegen muss. Umso bemerkenswerter ist es, dass Newton und Leibniz mit ihrer bahnbrechenden Leistung die Entwicklung einer Theorie der Grenzwerte erst erforderlich machten. Es dauerte dann noch über 200 Jahre, bis Cauchy und Weierstra ( Epsilon-Delta-Kriterium) eine fundierte Theorie darber vorlegen konnten. Der beschriebene Grenzprozess wird sowohl arithmetisch als auch geometrisch in der bewegten Graphik nochmals zum Ausdruck gebracht.