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Der zweidimensionale Fall [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im Gebiet mit genau einer Grenzschicht bei mit der oben beschriebenen Grenzschichtfunktion werde eine Finite-Elemente-Approximation einer Funktion gesucht. Dann nutzt man in Richtung Gitterpunkte eines grenzschichtangepaßten Gitters, in Richtung kann man ein äquidistantes Gitter mit Gitterpunkten verwenden. Die Punkte bilden ein Rechteckgitter, und bilineare finite Elemente auf diesem Gitter approximieren so wie im eindimensionalen Fall beschrieben in der Seminorm bzw. der Norm. Dies gilt auch für die linearen Elemente, die auf dem Dreiecksgitter definiert sind, welches aus dem Rechtecksgitter durch Einziehen von Diagonalen entsteht. Da die Triangulierungen aber nicht quasiuniform sind, benötigt man für die Herleitung dieser Aussage sogenannte anisotrope Interpolationsfehlerabschätzungen, zu finden z. in einem Buch von Apel 1999. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Apel, T. : Anisotropic finite elements. Ableitung von ln x 2 | Ableitungsrechner • Mit Rechenweg!. Wiley, Stuttgart 1999 Bakhvalov, A.
Die numerische Lösung von Problemen mit Grenzschichten, z. B. mit der Methode der finiten Elemente, erfordert Verfeinerungen des Gitters in Grenzschichtnähe-- grenzschichtangepaßte Gitter. Angenommen, die Lösung einer Randwertaufgabe zweiter Ordnung auf dem Intervall lasse sich zerlegen gemäß. Ableitung ln x 2+1. Dabei ist eine glatte Funktion mit beschränkten Ableitungen, jedoch eine Grenzschichtfunktion mit ist eine Konstante, aber ein sehr kleiner Parameter. Damit ist eine typische Grenzschichtfunktion, die sich extrem schnell in der Umgebung von ändert. Wenn man nun für eine Fehlerabschätzung der Methode der finiten Elemente mit linearen Splines den Interpolationsfehler auf einem äquidistanten Gitter der Schrittweite abschätzen will, so schätzt man separat den Anteil von (das ist harmlos) und von ab. Da sich wie verhält, wichtet man die -Seminorm mit und erhält Dies deutet darauf hin, dass die Methode für kleine Werte von und moderate versagt, und tatsächlich zeigen dies auch numerische Experimente. Im eindimensionalen Fall könnte man zwar noch mit extrem kleinen Schrittweiten arbeiten, im zwei- oder dreidimensionalen Fall ist dies wenig sinnvoll.
Danke für den hinweis! eleicht ist ja ein zweites Beispiel auch ganz gut;-) ⓘ Dieser Inhalt wurde ursprünglich auf Y! Answers veröffentlicht, einer Q&A-Website, die 2021 eingestellt wurde.