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Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer. Sonderfälle [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Radius [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz oder aus der Dreiecksfläche berechnen:. Dabei stehen die Bezeichnungen,, für die Seitenlängen und,, für die Größen der Innenwinkel. bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich z. Vierecke eigenschaften pdf version. B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt. Koordinaten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden.
Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien, und. Mit ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts zu und. Umkreismittelpunkt eines Dreiecks () Trilineare Koordinaten Baryzentrische Koordinaten Weitere Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Umkreismittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden. Nach dem Südpolsatz schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der Winkelhalbierenden des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis. Viereck – Wikipedia. Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt beträgt, wobei den Umkreisradius und den Inkreisradius bezeichnet ( Satz von Euler). Die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius (siehe Satz von Carnot). Der Satz vom Dreizack stellt einen Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis her Verallgemeinerung: Mittellotensatz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der synthetischen Geometrie als Mittellotensatz bezeichnet.
Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) Raum, so erhält man den Begriff der Umkugel, also einer Kugel, auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders (Vielflächners) liegen. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wiktionary: Umkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen (Umkreis-Konstruktion wird Schritt für Schritt vorgeführt) Flash-Animation zur Umkreis-Konstruktion beim Dreieck (dwu-Unterrichtsmaterialien)
Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine "Kreise" definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum Höhenschnittpunktsatz ist. → Siehe dazu Höhenschnittpunkt und präeuklidische Ebene. Umkreise anderer Vielecke [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu. Vierecke, die einen Umkreis haben, werden Sehnenvierecke genannt. Vierecke eigenschaften pdf.fr. Spezialfälle sind gleichschenklige Trapeze, also auch Rechtecke und Quadrate. Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes regelmäßige Polygon einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen -Ecks mit der Seitenlänge gilt: Verwandte Begriffe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Vielecks berührt. Der Inkreis eines Dreiecks stellt einen besonders wichtigen Spezialfall dar. Er gehört mit dem Umkreis und den drei Ankreisen zu den besonderen Kreisen der Dreiecksgeometrie.