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Dokument mit 11 Aufgaben Aufgabe A1 Lösung A1 Aufgabe A1 Bei einem Experiment wurde die Temperatur einer Flüssigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen. Die Tabelle und der Graph zeigen die Messergebnisse. Eingetragen ist zusätzlich die Sekante des Intervalls I t =[30;50]. t in min T in °C 0 10 5 20 4, 5 30 11 35 17 50 Trage die Sekanten zwischen den einzelnen Messpunkten in die Grafik ein und berechne deren Steigung. In welchem Intervall ist die Steigung minimal, in welchem maximal? Aufgabe A3 (3 Teilaufgaben) Lösung A3 Aufgabe A3 (3 Teilaufgaben) Ermittle die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall zeichnerisch und überprüfe rechnerisch. Aufgabe A4 (3 Teilaufgaben) Lösung A4 Bestimme den Differenzenquotient der Funktion f im angegebene Intervall (ohne GTR/WTR). Du befindest dich hier: Mittlere Änderungsrate - Level 1 - Grundlagen - Blatt 2 Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021
Wichtige Inhalte in diesem Video Was ist die mittlere Änderungsrate und was hat es mit dem Differenzenquotienten auf sich? Die Antworten auf diese Fragen, bekommst du hier und in unserem Video! Mittlere Änderungsrate einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:14) Stell dir vor, du hast einen Graphen gegeben und kennst die Punkte A(a|f(a)) und B(b|f(b)). Verbindest du sie, bekommst du eine Gerade, die dir die durchschnittliche Steigung m zwischen den beiden Punkten zeigt. Diese Gerade nennst du Sekante und ihre Steigung m ist die sogenannte mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b]. direkt ins Video springen Graph mit Sekante Du berechnest die Steigung m der Sekante mit dem sogenannten Differenzenquotient. Er beschreibt die Berechnung des Steigungsdreiecks, das du zeichnen kannst. Graph mit Sekante und Steigungsdreieck Mittlere Änderungsrate Definition Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten auf dem Graphen einer Funktion.
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf den Intervall [-1, 1] und finden Sie weitere Intervalle mit der gleichen Änderungsrate. Finden Sie Intervalle, auf dem die mittlere Änderungsrate den Wert 0 hat. Diskutieren Sie untereinander, welche Intervalle als Näherung für f brauchbarer sind. Wo findet sich die mittlere Änderungsrate in der Grafik wieder? Wieso kann der Geradenabschnitt zwischen P und Q auf einem beliebigen Intervall als Näherung für f gelten? Wie lässt sich ein Schätzwert für einen Funktionswert im Punkt X rechnerisch mit Hilfe der mittlerern Änderungsrate bestimmen? Auf welchen Intervallen ist die mittlere Änderungsrate gleich der absoluten Änderung des Funktionswertes? [1] Ein Schienenfahrzeug bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) = 0. 9t 2, wobei t die Zeit in Sekunden und s die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke ist. Wie lässt sich diese Funktion im Arbeitsblatt darstellen? Welcher Defintionsbereich ist sinnvoll? Wenn Sie eine geeignete Darstellung für die Funktion gefunden haben: Welchen Weg legt das Fahrzeug in den ersten drei Sekunden zurück?
Die mittlere Änderungsrate hängt vom Intervall ab. In einem anderen Intervall, z. B. [2, 7], hätte die mittlere Änderungsrate hier einen anderen Wert (weil das Auto beschleunigt und die quadratische Funktion das widerspiegelt; bei einer linearen Funktion nicht). Nun soll die momentane Geschwindigkeit (allgemein: die momentane Änderungsrate) an einer bestimmten Stelle, z. bei 2 Sekunden (also nicht in einem Intervall) berechnet werden. Dazu wird die 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) = x 2 gebildet: f'(x) = 2x. Die 1. Ableitung wird an der Stelle x = 2 (Sekunden) berechnet: f'(2) = 2 × 2 = 4. Das bedeutet? Erhöht man die Zeit ausgehend von 2 Sekunden ein ganz klein wenig (marginal) um z. eine Hundertstel Sekunde (0, 01 Sekunden), ändert sich die Geschwindigkeit um näherungsweise 4 mal 0, 01 = 0, 04 Einheiten (f(2) war 2 2 = 4 und f(2, 01) = 2, 01 2 = 4, 0401). Die momentane Änderungsrate ist bei dieser (quadratischen) Funktion an jeder Stelle anders, z. bei 3 Sekunden: f'(3) = 2 × 3 = 6 (man sagt auch: lokale Änderungsrate, weil sie sich auf eine Stelle bezieht).
Ich kann mit mittleren Änderungsraten die momentane Änderungsrate annähern. Aus technischen Gründen werden an manchen Stellen bei den Aufgaben eckige Klammern statt der in diesem Zusammenhang sonst üblichen runden Klammern verwendet. 1a) Mit 10 Jahren war Peter 141 cm groß. Mit 12 Jahren war er 149 cm. Mit welcher mittleren Änderungsrate ist Peter während der zwei Jahre gewachsen? (4 cm/Jahr) (! 8 cm/Jahr) (! 2 cm/Jahr) (! 6 cm/Jahr) (! 10 cm/Jahr) 1b) Ein Auto beschleunigt von 0 auf 100 gemäß der Formel s[t]=1, 5t², wobei s[t] die zurückgelegte Strecke zu einem bestimmten Zeitpunkt t in Sekunden angibt. Sara möchte einen möglichst guten Näherungswert für die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t=4 Sekunden berechnen. Welche beiden der folgenden Funktionswerte sollte sie dafür verwenden? (s[4]) (! s[4, 01]) (! s[4, 05]) (! s[4, 001]) (s[4, 0001]) (! s[4, 5]) 1c) Beziehen sich die folgenden Aussagen auf die mittlere oder die momentane Änderungsrate? "Ich bin mit 110km/h geblitzt worden, wo nur 80 km/h erlaubt waren! "