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Die korrekte mathematische Beschreibung für diesen Näherungsvorgang: Wir definieren zwei Folgen, je eine für den Umfang des inneren und des äußeren n-Ecks. (Weil wir uns für p interessieren, halbieren wir jeden Umfang. Darstellung von Funktionen | Maths2Mind. ) innen n = [halber Umfang des einbeschriebenen n-Ecks] außen n = [halber Umfang des umbeschriebenen n-Ecks] Ohne Berechnung, rein aus den geometrischen Zusammenhängen, ist offensichtlich: lim innen n = außen n = p n ®¥ Außerdem ist leicht einzusehen, daß die beiden Folgen den Grenzwert p mit zunehmend guter Näherung "einschachteln", das heißt: innen n < innen n+1 < p < außen n+1 < außen n für alle n. Es liegt wenig Sinn darin, dies mathematisch zu beweisen. Umgekehrt jedoch könnten wir versuchen, die Konvergenz der Folgen für die Berechnung von Näherungswerten für p auszunutzen.
Von einer bestimmten Generation k gibt es 3 k Quadrate, so daß die Fläche aller Quadrate einer Generation a 2 /3 k ist. Für die Fläche aller Quadrate muß man die Summe bilden, und n gegen unendlich gehen lassen: Folgen tauchen in vielen mathematischen Prozessen auf. Ein Beispiel sind Näherungsverfahren. Der griechische Mathematiker Archimedes (um 287 bis 212) versuchte p, das Verhältnis zwischen dem Durchmesser und der Umfang eines Kreises, durch aufwendige Näherungen zu bestimmen. Graph darstellung von zahlenreihen syndrome. Er berechnete den Umfang von n-Ecken, die er dem Kreis ein- und umbeschrieb, und setzte seine Untersuchungen bis zum Wert n = 96 fort! Wir können diese Leistung knapp übertreffen. Das untere Bild zeigt, wie ein 9-Eck in sowie ein weiteres um einen Kreis gelegt wurde. Die dazugehörige Konstruktion mit The Geometer's Sketchpad gestattet es, an dem blauen Kreis (oben) zu ziehen, um aus dem 9-Eck ein Dreieck, Viereck,... bis hin zu einem 100-Eck zu machen. Außerdem wird neben dem Umfang auch die Kreisfläche angegeben (bekanntlich ist p auch das Verhältnis zwischen der Fläche und dem Radius eines jeden Kreises).
Zahlenfolgen und Grenzwerte Eine Zahlenfolge wird mit a n bezeichnet und ihre Folgenglieder gehorchen dem Bildungsgesetz der Zahlenfolge. Für n werden natürliche Zahlen (manchmal auch mit 0) eingesetzt. Zum Beispiel: a n = n + 2 (n + 2 ist Bildungsgesetz; Werte für n=... Graph darstellung von zahlenreihen in english. sind Folgenglieder) n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Wert 9 10 oder: a n = (½) n 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 oder auch: a n = (-1) n (n/2) + 1 -1/2 -3/2 -5/2 -7/2 Während beim zweiten Beispiel die Folgenwerte für größere n immer kleiner werden, sieht man beim dritten, daß die Werte für gerade n immer größer und für ungerade n immer kleiner werden. Eine Zahlenfolge kann auch rekursiv definiert werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sorry, this page requires a Java-compatible web browser. Hier werden die ersten sieben Glieder einer Folge dargestellt, bei der jeweils abwechselnd eine immer höhere Potenz von 1/2 addiert und subtrahiert wird. Die Folge gehorcht folgendem Gesetz: a n+1 = a n + (-½) n und a 0 = 0 Dies nennt man rekursiv (zurücklaufend) definierte Folge, da ein Folgenglied erst dann berechnet werden kann, wenn man seinen Vorgänger kennt.
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