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Aufgabe: Gegeben seien folgende Vektoren: (i) \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 7 \\ 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}2 \\ 6 \\ 5\end{array}\right) \); (ii) \( \left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}2 \\ 6 \\ 5\end{array}\right) \); (iii) \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}-3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right) \); Prüfen Sie ob diese Vektoren eine Basis von R^3 bilden. Problem/Ansatz: Könnte ich nicht die Vektoren als Matrixspalten schreiben und daraus die Determinante berechnen um herauszufinden on diese eine Basis bilden? Bsp i: $$A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 7 & 5 & 6 \\ 1 & 9 & 5 \end{pmatrix}$$ $$det(A) = 0$$ Da die Determinante 0 ist, ist sind die gegebenen Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis. Nur dann bin ich mir unsicher, wie man (iii) berechnet. Wie berechne ich dies dann?
(1) Die Vektoren \( b \) und \( c \) stehen orthogonal aufeinander: - Kannst du mit dem Skalarprodukt von \( b \) und \( c \) prüfen. Ist das Skalarprodukt 0, dann sind die Vektoren orthogonal. (2) Für \( \alpha=0 \) ist Vektor \( a \) ein vielfaches von Vektor \( b \): - Gibt es ein k*(0, -4, 2)^T = (0, -2, 1)^T (3), (4): - Einsetzen (5) Die Entfernung zwischen \( b \) und \( c \) beträgt 34: - Dann sind die "Vektoren" als "Punkte" zu verstehen und das wäre dann der Abstand zweier Punkte. (6) Für alle \( \alpha \) sind die Vektoren \( a, b \) und \( c \) linear unabhängig: - Lineares Gleichungssystem aufstellen und Rank prüfen Beantwortet 19 Apr von Fragensteller001 3, 0 k (2): k*(0, -4, 2)^T = (0, -2, 1)^T, jetzt gibt es ein k, nämlich 0. 5, sodass man den einen Vektor durch den anderen darstellen kann. (3): Setz einmal für \(\alpha = 2\) ein, dann kannst du zeigen, dass die Ungleichung nicht stimmt. Das wäre dann ein Gegenbeispiel. Richtig wäre aber \( \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\| \) vgl. Dreiecksungleichung.
1 du musst nur zeigen, dass die vektoren über $\mathbb Q$ keine vielfachen voneinander sind, und der grund dafür ist, dass die koeffizienten $a, b, c$ die du wählen müsstest allesamt nicht in $\mathbb Q$ liegen. ─ zest 13. 11. 2021 um 03:38
Wenn die Vektoren linear abhängig sind, gibt es unendlich viele Lösungen, darunter auch für mit. Dies ist also nur ein alternativer Spezialfall. Was in der Schule vielleicht weggelassen wird: Mit der allgemeinen Gleichung kannst Du jetzt überprüfen, ob ein einzelner Vektor linear abhängig ist.
Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, siehe dazu Matroid. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1. 5. Albrecht Beutelsbacher: Lineare Algebra: Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 8. Auflage, Springer, Gießen 2014, ISBN 978-3-658-02412-3
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