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7. 2 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Die Nullstellen einer Funktion f, also die Stellen x, für die gilt f ( x) = 0, gehören zu den Eigenschaften dieser Funktion. Bei der Untersuchung einer Funktion wird man daher auch nach ihren Nullstellen suchen. Für ganzrationale Funktionen kann in manchen Fällen ein Verfahren angegeben werden, mit dem man die Nullstellen berechnen kann. Diese Fälle sollen hier betrachtet werden. Lineare Funktionen: f(x) = a 1 x + a 0 Wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt, so ergibt sich. Quadratische Funktionen: f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Die Suche nach den Nullstellen führt auf die quadratische Gleichung. Nach Division durch a 2 ergibt sich die Normalform, die mit quadratischer Ergänzung weiter umgeformt wird. Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt die Lösungsmenge: D < 0: Es gibt keine reelle Lösung. D = 0: Es gibt genau eine reelle Lösung: D > 0: Es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen x 1, x 2, nämlich Es sei an den Satz von Vieta erinnert: Zwei reelle Zahlen x 1 und x 2 sind genau dann Lösungen der quadratischen Gleichung in Normalform, wenn gilt:.
Angenommen durch Polynomdivision erhält man f ( x) = ( x − x 0) ⋅ g ( x) + r, also mit einem Rest r, der nicht von x abhängt. Lässt man nun die Werte von x gegen x 0 streben, dann erhält man f ( x 0) = r. Da x 0 nach Voraussetzung eine Nullstelle von f(x) ist, gilt auch auf f ( x 0) = 0. Damit ist r = 0, d. h., die Polynomdivision ist ohne Rest ausführbar. Mit g(x) kann man wiederum so verfahren. Bei jedem Schritt verringert sich der Grad des verbleibenden Polynoms jeweils um 1, d. h., es kann höchstens n Linearfaktoren geben. Es gilt also der Satz: Eine ganzrationale Funktion f ( x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +... + a 1 x + a 0 vom Grad n (mit n ∈ ℕ), hat höchstens n Nullstellen. Lässt sich aus der ganzrationalen Funktion f(x) der Linearfaktor ( x − x 0) mehrfach, etwa k-fach, ausklammern, so nennt man x 0 mehrfache Nullstelle (man nennt k auch die Ordnung der Nullstelle). Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden: k = 1 x 0 ist eine einfache Nullstelle; der Graph der Funktion schneidet an dieser Stelle die x-Achse.
2, 8k Aufrufe:-) Eigentlich bin ich nicht schlecht in Mathe, aber das neue Thema bereitet mir Kopfzerbrechen.. Die Aufgabe ist: Die Produktionsfirma Atlanta möchte eine CD auf den Markt bringen und startet mit null Produktionseinheiten eine neue Produktionsreihe. Die Produktion erreicht nach fünf Monaten ein Maximum mit 100 Produktionseinheiten. Die Größte Produktionssteigerung wurde aber bereits nach zwei Monaten erreicht. So, daraus habe ich schon ein paar Informationen holen können, dass zum Beispiel: - die Funktion eine Nullstelle ( 0 l 0) hat - den Hochpunkt ( 5 l 100) - den Wendepunkt bei ( 2 l? ) hat. soviel ich weiß brauch man mindestens drei Informationen/Punkte. Aber irgendwie weiß ich nicht wie man den y-Wert des Wendepunktes herbekommen kann.. Hoffe um schnelle Antwort. LG Julian Gefragt 15 Jun 2013 von 2 Antworten f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b f(0) = 0 => d = 0 f(5) = 100 = 125a + 25b +5c f'(5) = 0 = 75a + 10b + c Wir brauchen 4 Informationen!
Ich habe eine Funktion 5 grades mit dem hornerschema zu einer Funktion 2 grades gemacht(natürlich vom 5 zu 4... ) am ende hab ich um die Nullstellen herauszufinden die pq-Formel angewendet. x1 und x2 waren gleich(beide bei -0, 5) was bedeutet es genau? Community-Experte Mathematik, Mathe Das heißt Du hast bei x=-0, 5 eine doppelte Nullstelle, und das bedeutet, dass der Graph dort die x-Achse "nur" berührt und nicht schneidet, d. h. dort ist eine Extremstelle. das nennt sich DOPPELTE NULLSTELLE: dort ist y zwar Null, aber der Graph berührt die x-Achse nur (von oben oder von unten), er geht nicht durch sie hindurch. (Gibt auch 3-Fache, 4-Fache NSt usw) Topnutzer im Thema Schule Das ist eine doppelte NS. Anschaulich bedeutet es, dass die Parabel die x-Achse nur berührt, aber nicht schneidet.
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