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Fall 2: x 2 − 6 x + 1 < 0 Man erhält x 2 − 6 x + 1 + 8 = 0, woraus x 3; 4 = 3 ± 9 – 9 folgt, also x 3 = x 4 = 3. Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit L = { − 1; 3; 7}. Es existieren genau drei Lösungen. Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen. Betrag Rechenregeln einfach erklärt. Verändert man die im obigen Beispiel gegebene Gleichung | x 2 − 6 x + 1 | − 8 = 0 zu | x 2 − 6 x + 2 | − 9 = 0, so erhält man im Fall 1 wiederum x 1 = 7 u n d x 2 = − 1. Im zweiten Fall aber ergibt sich x 2 − 6 x + 11 = 0 und daher wegen der nunmehr negativen Diskriminate ( − 2) keine weitere Lösung. Es gibt also nur zwei Lösungen. Verändert man die gegebene Gleichung | x 2 − 6 x + 1 | − 8 = 0 zu | x 2 − 6 x + 0, 5 | − 7, 5 = 0, so erhält man wiederum x 1 = 7 u n d x 2 = − 1. Im zweiten Fall ergeben sich nunmehr aus der Gleichung x 2 − 6 x + 7 = 0 die Lösungen x 3 = 3 + 2 u n d x 4 = 3 − 2.
Für diese Beträge gilt der Approximationssatz. Norm [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen kann durch die Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität auf beliebige Vektorräume verallgemeinert werden. Eine solche Funktion wird Norm genannt. Sie ist aber nicht eindeutig bestimmt. Pseudobetrag [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eric W. Beweise für Ungleichungen mit Beträgen | Mathelounge. Weisstein: Absolute Value. In: MathWorld (englisch). Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ van der Waerden: Algebra. 2. Teil. Springer-Verlag, 1967, Bewertete Körper, S. 203, 212.
Daher können sie zu einer einzigen Menge zusammengefasst werden, wie nachfolgend dargestellt: $$ L = \left\{x|2 \leq x \leq 6\right\} $$ Darstellung der Lösungsmenge anhand Zahlengerade Wie hat dir dieses Lernmaterial gefallen? Kommentare Weitere Lernmaterialien vom Autor 🦄 Top-Lernmaterialien aus der Community 🐬