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Aber betrachten wir den Fall: In einer Sendung von 500 speziellen Chips sind 100 Stück defekt. Bei der Eingangskontrolle werden 20 Chips getestet. Wenn jetzt die Wahrscheinlichkeit verlangt wird, dass genau 10 defekte Chips gezogen werden, erhält man Spüren Sie schon Unlustgefühle? Vielleicht können wir uns hier die Berechnung mit der Binomialverteilung erleichtern. Vergleichen wir die beiden Verteilungen, fällt auf, dass beide den gleichen Erwartungswert haben: EX = nθ. Nur in den Varianzen unterscheiden sie sich, Binomialverteilung: und hypergeometrische Verteilung: nämlich im Korrekturfaktor. Wird nun N sehr groß, ist der Korrekturfaktor fast Eins und wir erhalten approximativ die Varianz der Binomialverteilung. Binomialverteilung und Normalverteilung. Wie groß ist jetzt ein großes N? Das kommt darauf an, wie genau wir die Näherung haben wollen. Für die Approximation der Hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung gibt es mehrere empfohlene Faustregeln, je nach Geschmack der Autoren. Eine der einfacheren Faustregeln, die man sich auch einigermaßen merken kann, ist ist.
0, 5 = 4, 33. Eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 25 und einer Standardabweichung von 4, 33 wird diese Binomialverteilung approximieren. Wann ist die Annäherung angemessen?? Mit etwas Mathematik kann gezeigt werden, dass es einige Bedingungen gibt, die eine normale Annäherung an die Binomialverteilung erfordern. Die Anzahl der Beobachtungen n muss groß genug sein, und der Wert von p damit beide np und n (1 - p) größer oder gleich 10 sind. Dies ist eine Faustregel, die sich an der statistischen Praxis orientiert. Approximation binomialverteilung durch normalverteilung d. Die normale Annäherung kann immer verwendet werden, aber wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, ist die Annäherung möglicherweise nicht so gut wie eine Annäherung. Zum Beispiel, wenn n = 100 und p = 0, 25, dann sind wir berechtigt, die normale Näherung zu verwenden. Das ist weil np = 25 und n (1 - p) = 75. Da diese beiden Zahlen größer als 10 sind, kann die Binomialwahrscheinlichkeiten mit der entsprechenden Normalverteilung recht gut geschätzt werden. Warum die Approximation verwenden??
Versuchsdurchführung wirkt sich nicht auf die 2. Versuchsdurchführung aus). Beispiel: Binomialverteilung berechnen Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal "Zahl" bei 5-maligem Münzwurf berechnet sich mit folgender Formel: { 5! / [ 3! × (5 - 3)! ]} × 0, 5 3 × (1 - 0, 5) (5 -3) = { (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / [ (3 × 2 × 1) × (2 × 1)]} × 0, 125 × 0, 25 = 10 × 0, 125 × 0, 25 = 0, 3125 (gut 31%). In der Formel ist! das Zeichen für Fakultät, 0, 5 die Wahrscheinlichkeit für "Zahl" sowie (1 - 0, 5) die Gegenwahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit, dass nicht "Zahl" sondern "Kopf" kommt). Binomialverteilung Die errechneten ca. 31% sind nur ein Ergebnis; die eigentliche (Binomial-)Verteilung erhält man, wenn man die Berechnung für 0 mal "Zahl", 1 mal "Zahl", 2 mal "Zahl", 3 mal "Zahl", 4 mal "Zahl" und 5 mal "Zahl" durchführt (hier inkl. der kumulierten Binomialverteilung, die z. angibt, dass die Wahrscheinlichkeit, maximal 2 mal Zahl zu erhalten – d. h., 0 mal "Zahl" oder 1 mal "Zahl" oder 2 mal "Zahl" –, 0, 5 bzw. Approximation binomialverteilung durch normalverteilung method. 50% ist): Die 5 Ergebnisse kann man auch in einer Grafik (z. Stabdiagramm) darstellen und man erhält dadurch die Abbildung einer Binomialverteilung.