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Mathematik > Geometrie Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Inhaltsverzeichnis: Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens verwendest du, wenn du die Länge einer Seite oder die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen möchtest. Zunächst widmen wir uns der Definition des Sinus. Definition des Sinus Die erste Winkelfunktion, die wir behandeln, ist der Sinus. Er beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Merke Hier klicken zum Ausklappen $sinus (\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ Der S inus von $\alpha$ (geschrieben $\sin( \alpha)$) ist die Gegenkathete von $\alpha$ geteilt durch die Hypotenuse. Somit beschreibt $\sin( \alpha)$ das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Hypotenuse. Das mag zunächst ein wenig kompliziert klingen, aber die folgenden Beispiele zeigen dir, dass es eigentlich ganz einfach ist. Was können wir mit dem Sinus berechnen? Zusammenhang Sinusfunktion und Kosinusfunktion - Aufgaben mit Lösungen. Mit dem Sinus kann man entweder die Länge der Hypotenuse oder die Länge der Gegenkathete oder die Größe des Winkels berechnen, je nachdem, welche der drei Größen gesucht ist.
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Führe sin( 139°) auf einen Winkel im Intervall [180°; 270°] zurück.
Merke Die Amplitude der Sinusfunktion wird "der größte Ausschlag nach oben und unten" genannt. Die Variable $a$ bezeichnet den Streckungsfaktor. Dieser verändert die Amplitude und damit die Wertemenge. Die Amplitude einer Schwingung. Die Amplitude ist gleich dem Betrag des Streckfaktors $a$. Periode $\textcolor{green}{p}$ der Sinusfunktion Die Sinusfunktion verläuft periodisch, das heißt, dass sich die einzelnen Abschnitte der Funktion wieder und wieder wiederholen. Die Periode der Sinusfunktion wird hierbei der sich immer wieder wiederholende Abschnitt genannt. Wenn wir den Faktor $\textcolor{green}{b}$ der Funktion verändern, ändert sich auch die Länge der kleinsten Periode. Bei größerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ wird die kleinste Periode der Funktion kürzer, bei kleinerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ größer, bis hin zur Spiegelung der Funktion bei negativem Vorzeichen. Sinusfunktion bestimmen aufgaben mit lösung full. Die kleinste Periode berechnet man mit der Formel $p = | \frac{2 \cdot \pi}{b} | $ In der folgenden Abbildung haben wir die Funktionen $\textcolor{green}{f(x) = sin x}$, $\textcolor{blue}{g(x) = sin (\frac{1}{2} x)}$, $\textcolor{purple}{i(x) = sin (-2x)}$ und $\textcolor{red}{h(x) = sin (3x)}$.
Hierfür brauchst du die Länge der Gegenkathete und die Größe des Winkels. Du setzt beide Werte wieder in die Formel ein. Dann stellst du die Formel nach der Hypotenuse um. Sinusfunktion bestimmen aufgaben mit lösung den. Beispiel $\alpha = 45 ^\circ $, Hypotenuse $=~? ~cm$, Gegenkathete $=~4~cm$ $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ $sin(45 ^\circ) = \frac{4~cm}{Hypotenuse}$ $sin(45 ^\circ)\cdot Hypotenuse = {4~cm}$ $ Hypotenuse = \frac{4~cm}{sin(45 ^\circ)}$ $ Hypotenuse = 4\sqrt{2}~cm {\approx} 5, 657~cm$ Somit ist die Hypotenuse ungefähr 5, 657 cm lang. Merke Hier klicken zum Ausklappen In manchen Aufgaben sind die Seiten in unterschiedlichen Längeneinheiten angegeben. Dies kann vorkommen, wenn die Größe des Winkels gesucht ist und die Lägen der Gegenkathete und der Hypotenuse gegeben sind. Bevor du die Werte der Seiten in die Formel einsetzt, musst du die Längen dann zunächst so umrechnen, dass sie in derselben Einheit stehen, beispielsweise beide Seiten in Zentimeter oder beide Seiten in Meter. Jetzt weißt du, wie man mit der Winkelfunktion Sinus umgeht.
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