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Im folgenden gelte x, y, x i, r, a, b > 0 x, y, x_i, r, a, b> 0 und ferner a, b ≠ 1 a, b\neq 1. Konstanten Es gilt stets log b ( 1) = 0 \log_b(1)=0 und log b ( b) = 1 \log_b(b)=1. Rechenregeln für Logarithmen - Mathepedia. (1) Produkte log b ( x ⋅ y) = log b x + log b y \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y, (2) bzw. für beliebig viele Faktoren: log b ( x 1 x 2 ⋯ x n) = log b x 1 + log b x 2 + ⋯ + log b x n \log_b(x_1 x_2 \cdots x_n) = \log_b x_1 + \log_b x_2 + \dots + \log_b x_n oder mittels Produkt- und Summenzeichen: log b ∏ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n log b x i \log_b\prod\limits_{i=1}^n x_i = \sum\limits_{i=1}^n \log_b x_i\,. Quotienten Es gilt log b 1 y = − log b y \log_b \frac 1 y=-\log_b y. Fasst man Quotienten als Produkte mit dem Faktor y − 1 y^\me auf ergibt sich der Logarithmus eines Quotienten als Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor: log b x y = log b x − log b y \log_b \dfrac xy = \log_b x - \log_b y. Summen und Differenzen Weniger gebräuchlich ist die folgende Formel für Summen (bzw. Differenzen), die man aus Formel (2) herleiten kann, indem man x x ausklammert: x ± y = x ( 1 ± y x) x\pm y = x \left(1\pm \dfrac yx\right)\,, also: log b ( x ± y) = log b x + log b ( 1 ± y x) \log_b (x \pm y) = \log_b x + \log_b \left(1 \pm \dfrac yx\right)\,.
Für viele Pegelgrößen existieren genormte Bezugswerte. Anwendung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beispiel für Darstellung mit linearer Größe: Übertragungsfaktor eines Butterworth-Filters 2. Ordnung Beispiel für Darstellung mit logarithmischer Größe: Übertragungsmaß eines Butterworth-Filters 2. Ordnung In beiden Darstellungen ist die vertikale Achse linear geteilt, die horizontale logarithmisch. Die Angabe von Pegeln, Pegeldifferenzen und Maßen spielt in verschiedenen Fachgebieten eine Rolle. Vor allem in der Akustik und der Tontechnik, der Nachrichtentechnik und der Hochfrequenztechnik sowie in der Automatisierungstechnik haben die verwendeten Größen oft Wertebereiche über etliche Zehnerpotenzen. Die Angabe als logarithmische Verhältnisgröße erlaubt oft eine schnelle und anschauliche Interpretation von Größen, wenn gewisse Zusammenhänge im Bereich kleiner Werte genauso deutlich gemacht werden sollen wie im Bereich großer Werte. Ferner kann das Rechnen vereinfacht sein, wenn z. B. über mehrere Verstärkerstufen die Spannungsverstärkungen zu multiplizieren sind und die Verstärkungsmaße zu addieren.
Verwendung mit anderen Maßeinheiten, Zusätze [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wie jede andere Maßeinheit kann das Bel bzw. Dezibel zusammen mit anderen Maßeinheiten verwendet werden, wenn damit eine Größe beschrieben wird, bei der ein Pegel oder Maß durch Multiplikation oder Division mit einer anderen Größe verknüpft wird. Beispiele dafür sind das Dämpfungsmaß einer Leitung in Dezibel pro Meter (dB/m) oder der bezogene Schallleistungspegel einer ausgedehnten Schallquelle in Dezibel pro Quadratmeter (dB/m 2). Nach den für Größen geltenden Rechenregeln ist es zwar nicht korrekt, Zusätze an eine Einheit anzubringen, um Informationen über die Art der betrachteten Größe mitzuteilen, doch sind solche Zusätze beim Dezibel z. B. in den Empfehlungen der ITU [6] [7] noch gebräuchlich. Wegen der Eindeutigkeit und der möglichen Verwechslungsgefahr mit Einheitenprodukten (z. B. dB·m statt dBm) sind nach den Festlegungen in DIN, IEC und ISO - Normen diese Informationen stets mit der Größe und nicht mit der Einheit zu verknüpfen.
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