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Ist f eine im Intervall] a; b [ differenzierbare Funktion, dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, so dass gilt: f ( b) − f ( a) b − a = f ' ( c) ( c ∈] a; b [) Durch Multiplikation mit (b - a) erhält man hieraus f ( b) − f ( a) = f ' ( c) ( b − a). Da nach Voraussetzung f ' an jeder Stelle den Wert Null hat, ist auch f ' ( c) = 0. Damit gilt f ( b) − f ( a) = 0, woraus f ( a) = f ( b) folgt. Da aber a und b beliebig gewählt wurden, stimmen die Funktionswerte an allen Stellen überein, d. h., f ist eine konstante Funktion. w. Stammfunktion eines Betrags. z. b. Wenn es zu einer Funktion f eine Stammfunktion F gibt, so existieren unendlich viele weitere Stammfunktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden. Stammfunktionen einer Funktion Es sei F 1 eine Stammfunktion von f in D. F 2 ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn es eine Zahl C ( C ∈ ℝ) gibt, so dass F 2 ( x) = F 1 ( x) + C für alle x ∈ D gilt. Beweis: Weil es sich bei dem vorliegenden Satz um eine Äquivalenzaussage handelt, müssen wir den Beweis "in beiden Richtungen" führen.
Merke: Eine Funktion, deren Ableitungsfunktion f' stetig ist, nennst du stetig differenzierbar. Übersicht Stetigkeit und Differenzierbarkeit Die folgenden Zusammenhänge solltest du kennen: f ist differenzierbar ⇒ f ist stetig f ist nicht stetig ⇒ f ist nicht differenzierbar f' ist stetig ⇔ f heißt stetig differenzierbar Differenzierbarkeit höherer Ordnung Du weißt ja, dass du einige Funktionen mehr als nur einmal ableiten kannst. Das nennst du dann Differenzierbarkeit höherer Ordnung. Wenn du eine Funktion zweimal ableiten kannst, nennst du sie zweimal differenzierbar. Genau das Gleiche gilt dann auch bei drei oder sogar n-mal ableitbaren Funktionen. Stammfunktionen in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Die n-te Ableitung von bezeichnest du dann mit. Es gibt noch einen weiteren Trick, wie du eine Funktion auf Differenzierbarkeit prüfen kannst. h-Methode im Video zur Stelle im Video springen (03:34) Du kannst den Grenzwert des Differentialquotienten auch mit der h-Methode berechnen. Dafür ersetzt ( substituierst) du mit h: Dementsprechend wird dann zu und es gilt: Schau dir dafür am besten mal die Funktion an: Willst du die Differenzierbarkeit an der Stelle prüfen, rechnest du: Deine Funktion ist also an der Stelle differenzierbar.
Wichtige Inhalte in diesem Video Hier lernst du alles zur Differenzierbarkeit und wie du sie schnell und einfach nachweisen kannst. Du hast keine Lust soviel zu lesen? Dann schau dir doch einfach unser Video an! Differenzierbarkeit einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:14) Differenzierbarkeit ist eine wichtige Eigenschaft von stetigen Funktionen. Stammfunktion betrag von x. Du kannst eine nicht differenzierbare Funktion an einem Knick in ihrem Graphen erkennen: direkt ins Video springen Differenzierbare und nicht differenzierbare Funktion Allgemein nennst du eine Funktion an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn dieser Grenzwert existiert: Das bedeutet, er ist kleiner als unendlich. Differenzierbarkeit Definition Eine Funktion ist an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn Diesen Limes nennst du auch Differentialquotienten. Er gibt dir die Ableitung an der Stelle x 0 von f an. Du bezeichnest deine Funktion als differenzierbar, wenn du sie an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge differenzieren kannst.
einzusetzen... ich hatte da nämlich mal locker Null raus... @ Sandie Schau dir mal die Stammfunktionen an (die rote Linie gilt für [0, 1], die grüne für den Rest): Du siehst, dass bei x=0 beide angrenzenden Stammfkt. ineinander übergehen, F ist dort also stetig und wir haben kein Problem. Bei der anderen Problemstelle x=1 haben wir aber wirklich ein Problem: Die Stammfunktion "springt" plötzlich, was sie nicht darf. Deine Aufgabe: Verschiebe die dritte Stammfunktion (also die für (1, oo)) so, dass sie stetig an die mittlere Stammfunktion (also die für [0, 1]) anknüpft. Anmerkung: Zu einer Stammfunktion darfst du ja Konstanten dazuaddieren, die nichts ausmachen, da sie beim Ableiten wieder wegfallen würden. 23. 2010, 21:40 Also, die ersten beiden Stammfunktionen für die Teilintervalle stimmen?! Und die dritte ändere ich durch eine Zahl c ab. c ist laut Skizze dann so ca. - 1/3 (also vom Grobverständnis her erstmal. Stammfunktion von betrag x factor. Ist das okay? 23. 2010, 21:48 Ja, kommt etwa hin. Womit du eher 1/3 draufaddieren musst als abziehen.
6, 9k Aufrufe Hi an alle, Meine Funktion lautet |x| * |x - 1| Wie finde ich dazu die Stammfunktion? Nehme an ausmultiplizieren ist zu einfach... Gefragt 28 Apr 2014 von Hi, hast Du ein bestimmtes Integral? Ich würde so vorgehen: -Nullstellen suchen (x = 0 und x = 1) -Integral Summandenweise integrieren. Also durch obige Grenzen kann man das Integral ja in drei (sinnvolle) Summanden splitten:). Betragsfunktionen integrieren | Mathelounge. Grüße Nur weil "auf" das Gegenteil von "ab" sein mag, ist nicht aufleiten das Gegenteil von ableiten. So ist beispielsweise auch nicht aufführen das Gegenteil von abführen:P. Das Wort "Aufleitung" zu nutzen ist eher unmathematisch ausgedrückt und (meiner Meinung nach) allenfalls für einen Laien akzeptabel. Aber sobald man wirklich mit Integrationen arbeitet, sollte man das Wort schnellstens vergessen. Darf ich Betrag x mit wurzel x 2 "intergrieren"? Meine Hand will ich da nicht ins Feuer legen. Aber ja, ich denke das sollte passen. Wenn man es mal integriert und vergleicht kommt auch das gleiche raus;).
Ableitunsgregeln Zum Glück musst du nicht immer die Grenzwerte bestimmen, um auf die Ableitung zu kommen. Für viele Funktionen kennst du schon Ableitungsregeln, die dir die aufwendige Rechnerei ersparen. Schau dir doch gleich unser Video dazu an! Zum Video: Ableitungsregeln Beliebte Inhalte aus dem Bereich Analysis