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Diese kann man leicht aus dem Mengendiagramme erkennen. Satz Die Schnittmenge disjunkter (elementfremder) Mengen ist leer. Bildet man die Schnittmenge zweier elementfremder (disjunkter) Mengen, so findet sich kein Element, dass sowohl in der einen als auch in der anderen Menge enthalten ist. Diese Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Das Kurzzeichen für die leere Menge wird mit dem Symbol Ø gekennzeichnet. Satz Für die Schnittmengenbildung gilt das Kommutativgesetz. Verknüpfung von mengen übungen 2. Das heißt, man kann die beiden Mengen vertauschen. Auch diese kann man leicht aus dem Mengendiagramme erkennen. Definition Vereinigungsmenge Die Vereinigungsmenge ist diejenige Menge, deren Elemente entweder in der einen Menge oder in der anderen Menge oder in beiden enthalten sind. Die Menge C ist die Menge A vereinigt mit der Menge B. Es können auch mehrere Mengen miteinander vereinigt werden: Beispiel: Vereinigungsmenge Beispiel: Gegeben sind die Mengen A und B in beschreibender Form: Die Vereinigungsmenge soll ermittelt werden.
Die Mengenoperationen verknüpfen Mengen zu neuen Mengen, indem Eigenschaften der zu konstruierenden Mengen definiert werden. Folgende Operationen sind die Wichtigsten: Durchschnitt Vereinigung Differenz Symmetrische Differenz Alle Mengenoperationen haben gemeinsam, dass sie die Ergebnismenge über logische Verknüpfungen der Elemente der Ausgangsmenge definieren: Also A ∘ B = { x ∣ ( x ∈ A) ∙ ( x ∈ B)} A\circ B=\{ x\, |\, (x\in A) \bullet (x\in B)\} Dabei ist jeder Mengenoperation ∘ \circ die logische Verknüpfung ∙ \bullet zugeordnet. Die folgende Tabelle fasst diese Zuordnungen zusammen. Dabei sind A A und B B die Mengen und a: = x ∈ A a:=x\in A bzw. b: = x ∈ B b:=x\in B die Aussagen über das Enthaltensein in diesen Mengen. Verknüpfung von mengen übungen de. Mengenoperation Symbol Logische Verknüpfung Aussage A ∩ B A\cap B Konjunktion a ∧ b a \and b A ∪ B A \cup B Adjunktion a ∨ b a \or b A ∖ B A\setminus B Negation der Implikation ¬ ( a ⟹ b) = a ∧ ¬ b \not(a\implies b)=a\and \not b symmetrische Differenz A Δ B A\Delta B Kontravalenz a + b = ¬ ( a ⟺ b) a+b=\not(a\iff b) Mengenfamilien Unter einer Indexmenge I I versteht man eine beliebige Menge, deren Elemente zum indizieren anderer Mengen dient.
2006, 18:34 AD Nächstes Problem: Was ist f(x) =? x Exotische HTML-Codes werden hier nicht dargestellt, verwende stattdessen den Formeleditor!
Definition Restmenge Die Restmenge A ohne B zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B enthalten sind. Die Restmenge C ist die Menge A ohne die Elemente der Menge B. C = A\B Symbol für ohne: \ Satz Die Restmengenbildung ist nicht kommutativ. Der direkte Beweis erfolgt über die Mengenbilder. Aufgaben Mengenverknüpfungen und Intervalle • 123mathe. Beispiel: Die Produktmengenverknüpfung Definition Paarmenge Eine Paarmenge ist eine Menge, deren Elemente aus Wertepaaren bestehen, deren Ordnung festgelegt ist. Der Begriff Ordnung bedeutet, es ist festgelegt, welche Komponente des Wertepaares an erster Stelle geschrieben wird. Definition Produktmenge Die Produktmenge der Mengen A und B ist die Menge aller möglichen geordneten Paare, mit der Ordnung steht an erster Stelle und steht an zweiter Stelle im Wertepaar. Die Produktmenge zweier Mengen ist nicht kommutativ, da die Ordnung in den Elementen der beiden Mengen verschieden ist. Beispiel: Eine Übersicht über alle Mengenbegriffe und mathematischen Zeichen finden Sie hier.
22 Fertigen Sie eine Tabelle an, in der Sie die Ergebnisse der vorangegangenen Beispiele und Aufgaben zur Verträglichkeit von Bild und Urbild mit den Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt, Mengendifferenz und Komplementbildung zusammenfassen. Aufgabe 4. 30 Wir betrachten die Abbildungen $f:\{a, b\}\to\{1, 2, 3\}$ mit $f:a\mapsto 1$ und $f:b\mapsto 3$ und $g:\{1, 2, 3\}\to\{A, B, C, D\}$ mit $g:1\mapsto C$, $g:2\mapsto D$ und $g:3\mapsto B$. Bestimmen Sie die Verknüpfung $g\o f$. Aufgabe 4. Verknüpfung von Mengen • 123mathe. 31 Bestimmen Sie die Zusammensetzungen $f\o g$ und $g\o f$ für die jeweils angegebenen Funktionen: $f, g:\R\to\R$ mit $f(x)=\sin(x)$ und $g(x)=x^{2}$, $f, g:\Q\to\Q$ mit $f(q)=\tfrac{q}{3}$ und $g(q)=q^{2}-1$, $f, g:\N\to\N$ mit $f:n\mapsto 3^{n}$ und $g(n)=n^{3}$. Aufgabe 4. 32 Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht bijektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ bijektiv ist? Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht injektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ injektiv ist?