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Die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion lautet: y ( x) = a ( x - x S) 2 + y S oder wenn die quadratische Funktion in Normalform d. h. a=1 vorliegt: y ( x) = ( x - x S) 2 + y S Dabei sind x S und y S die x- und y-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel. Der Scheitelpunkt bezeichnet das Minimum oder Maximum der Funktion je nachdem ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. VIDEO: Scheitelpunktform in Normalform umwandeln - so geht's bei einer Parabel. Scheitelpunkt in p, q-Form Scheitelpunkt in allgemeiner Form Scheitelpunkt der Parabel Die Bestimmung des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion erfolgt mittels der Ableitung der Funktion. Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung der Funktion verschwindet. Bei einer quadratischen Funktion ist das hinreichend für ein Minimum oder Maximum. Ausgangspunkt ist die allgemeine Form der quadratischen Funktion: y ( x) = a x 2 + b x + c Die Ableitung der allgemeinen Form lautet: y ′ = 2 a x + b Die Bedingung für den Scheitelpunkt ist, dass die Ableitung verschwindet. D. es gilt folgende Gleichung: 2 a x + b = 0 Auflösen der Gleichung nach x ergibt die x-Koordinate des Scheitelpunkts: x S = - b 2 a Einsetzen in die allgemeine quadratische Funktion liefert die y-Koordinate des Scheitelpunkts: y S = - b 2 4 a + c Aus der zweiten Ableitung der quadratischen Funktion folgt ob der Scheitelpunkt ein Maximum oder ein Minimum der Parabel ist.
Ausgangspunkt ist die Scheitelpunktform y = a ( x - x S) 2 + y S = Auflösen des Quadrats ergibt: a ( x 2 - 2 x x S + x S 2) + y S = Ausmultiplizieren der Klammer ergibt: a x 2 - 2 a x x S + a x S 2 + y S = Einsetzen der von x S und y S ergibt: a x 2 + 2 a x b 2 a + a ( - b 2 a) 2 - b 2 4 a + c = Kürzen ergibt: a x 2 + b x + b 2 4 a - b 2 4 a + c = Die Summanden heben sich auf und es folgt die allgemeine quadratische Funktion: a x 2 + b x + c Berechnung der Nullstellen aus der Scheitelpunktform Aus der Scheitelpunktform ist es einfach die Nullstellen der quadratischen Funktion zu bestimmen. y = a ( x - x S) 2 + y S mit der Bedingung, dass die Funktion Null sein muss 0 = a ( x - x S) 2 + y S Umformung ergibt ( x - x S) 2 = - y S a und die Quadratwurzel ergibt x - x S = ± - y S a und damit schließlich die Nullstellen x 1, 2 = x S ± - y S a