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Vektorgleichungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ebenen werden häufig auch mit Hilfe von Vektoren beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus der Menge von Punkten, deren Ortsvektoren die Ebenengleichung erfüllen. Der Ortsvektor eines Punkts wird üblicherweise als Spaltenvektor notiert. Vektorgleichungen sind dann komponentenweise zu verstehen, das heißt jede Komponente des Vektors muss die Gleichung erfüllen. Dabei wird jeder Punkt der Ebene in Abhängigkeit von zwei reellen Parametern beschrieben. Auf diese Weise erhält man eine Parameterdarstellung der Ebene. Normalenvektor einer Ebene ⇒ verständliche Erklärung. Parameterform [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei der Parameterform oder Punktrichtungsform wird eine Ebene durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren und beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren die Gleichung mit erfüllen. Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene, der auch als Stützpunkt oder Aufpunkt bezeichnet wird. Die beiden Richtungsvektoren, auch Spannvektoren genannt, müssen in der Ebene liegen und ungleich dem Nullvektor sein.
Einen Stützvektor der Gerade erhält man, je nachdem ob oder ungleich null ist, durch Wahl von oder. Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Achsenabschnittsform einer Geradengleichung ein Normalenvektor und ein Stützvektor ermitteln. Normalengleichung einer ebene aufstellen. Normalenform einer Ebenengleichung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Normalenform einer Ebenengleichung Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Normalenform ebenfalls durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren die Gleichung erfüllen. Der Stützvektor ist dabei wiederum der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene und der Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Das bedeutet, dass der Normalenvektor mit allen Geraden der Ebene, die durch den Stützpunkt verlaufen, einen rechten Winkel bildet. Eine äquivalente Darstellung der Normalenform ist wiederum und ein Punkt, dessen Ortsvektor die Normalengleichung erfüllt, liegt auf der Ebene.
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Lesezeit: 3 min Es gibt drei wesentliche Formen von Ebenengleichungen, die wir uns merken müssen: Koordinatenform: $$ E:a_1 \cdot x + a_2 \cdot y + a_3 \cdot z = c $$ Parameterform: $$ E:\vec x=\vec a + s \cdot \vec b + t \cdot \vec c $$ Normalenform: $$ E: \left[\vec x-\vec a\right] \circ \vec n = 0 $$ Normalenform Die Normalenform (auch "Normalform" oder "Normalengleichung") ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Normalengleichung einer ebenezer. Die Normalenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Umwandlungen von Ebenengleichungen Hier findet ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Ebenengleichungen: Drei Punkte gegeben Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform Umwandlung von Parameterform in Normalenform Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform Umwandlung von Normalenform in Parameterform
Gilt, dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Die Ebene (blau) verläuft rechtwinklig zur Strecke (grün) durch denn Punkt (rot). Normalengleichung einer ebene bestimmen. Auf derselben Ebene liegen auch die Punkte (türkis), und Ausgeschrieben lautet die Normalenform einer Ebenengleichung. Ist beispielsweise (siehe Bild) der Stützvektor und der Normalenvektor, so erhält man als Ebenengleichung Jede Wahl von, die die Ebenengleichung erfüllt, beispielsweise oder, entspricht dann einem Ebenenpunkt. Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit den beiden Richtungsvektoren und lässt sich ein Normalenvektor der Ebene durch Berechnung des Kreuzprodukts bestimmen. Der Stützvektor kann aus der Parameterform übernommen werden. Aus der Dreipunkteform [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung werden zunächst zwei Richtungsvektoren als Differenzvektoren zwischen den Ortsvektoren, und jeweils zweier Punkte ermittelt und dann wie bei der Parameterform das Kreuzprodukt berechnet.
Ebenengleichungen und ihre Beziehungen Eine Ebenengleichung ist in der Mathematik eine Gleichung, die eine Ebene im dreidimensionalen Raum beschreibt. Eine Ebene besteht dabei aus denjenigen Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem, deren Koordinatenvektoren die Ebenengleichung erfüllen. Normalengleichung - Ebenengleichungen einfach erklärt | LAKschool. Stehen die einzelnen Koordinaten der Ebenenpunkte in einer Gleichungsbeziehung, spricht man von einer Koordinatengleichung, zu denen die Koordinatenform und die Achsenabschnittsform gehören. Stehen die Ortsvektoren der Ebenenpunkte in der Gleichung, handelt es sich um eine Vektorgleichung, zu denen die Parameterform und die Dreipunkteform gehören. Enthält die Gleichung einen Normalenvektor der Ebene, so spricht man von einer Normalengleichung, zu denen die Normalenform und die Hessesche Normalform gehören. Durch Vektorgleichungen können auch Ebenen in höherdimensionalen Räumen dargestellt werden, während Koordinatengleichungen und Normalengleichungen in diesem Fall Hyperebenen beschreiben. Koordinatengleichungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der analytischen Geometrie wird jeder Punkt im dreidimensionalen Raum mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems durch ein Koordinatentupel identifiziert.
Damit haben wir einen Normalenvektor zu der Ebene gefunden.