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Im zweiten Schritt drückst du einen Parameter der Parametergleichung durch einen anderen aus. Dazu löst du nach dem Parameter mit dem kleineren Koeffizienten auf. Diesen neuen Ausdruck setzt du erneut in die Parametergleichung ein. Schnittpunkt zweier Ebenen berechnen, Beispiel 3 | V.02.03 - YouTube. Auflösen, Vereinfachen und Umformen liefert schließlich die Gleichung der gesuchten Schnittgerade zweier Ebenen. Aufgabe Sehen wir uns hierzu eine Beispielaufgaben an: Gegeben sind die Ebenen $E$ und $F$ durch $E: 3x-2y + z= 1$ und $F:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\-1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\-1\end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\1\end{array}\right)$ Bestimme eine Gleichung der Schnittgerade von $E$ und $F$. Schritt 1: Parametergleichung in Koordinatengleichung einesetzen Die Parametergleichung für $F$ teilt sich in drei Teilgleichungen auf – eine für jede Koordinate: $x=0+\lambda \cdot 1 n+ \mu \cdot (-1)$ $y=1 + \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 1$ $z=-1 + \lambda \cdot (-1) + \mu \cdot 1$ ⇒ $x=\lambda -\mu$ $y=1+\mu$ $z=-1 – \lambda + \mu$ Diese drei Teilgleichungen werden jetzt in die Koordinatengleichung von $E$ eingesetzt.
Mit Hilfe dieser drei Vektoren können wir direkt die Parameterform aufstellen: X = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12) (x | y | z) = (0|2|-1) + s · (0 | 5 | -11) + t · (5 | 0 | -12) Hinweis: Dieses Lösungsverfahren funktioniert nur, wenn beim Normalenvektor keine 0 gegeben ist. Wenn man eine Null gegeben hat, so sind senkrecht zu N(x | y | 0) die Vektoren (y | -x | 0) und (0 | 0 | 1). Wenn man sogar zwei Nullen als Komponenten gegeben hat, sind senkrecht zu N(x | 0 | 0) die Vektoren (0 | 1 | 0) und (0 | 0 | 1).
Das Gleichungssystem wird nicht aufgehen, siehe Beispiel. Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 2) +r ( 1) 3 0 1 3 und E: x= ( 3) +r ( 2) +s ( 3) 4 0 0 1 1 4 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 2) +r ( 1) = ( 3) +s ( 2) +t ( 3) 3 0 4 0 0 1 3 1 1 4 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 +r = 3 +2s +3t 3 = 4 1 +3r = 1 +s +4t Das Gleichungssystem löst man so: r -2s -3t = 1 0 = 1 3r -1s -4t = 0 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -2s -3t = 1 0 = 1 5s +5t = -3 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -2s -3t = 1 5s +5t = -3 0 = 1 ( die dritte Zeile wurde mit der zweiten Zeile vertauscht) dritte Zeile: 0t = 1 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist. Also gibt es keine Schnittpunkte. Die Gerade ist parallel zu der Ebene. Wie sieht man, dass die Gerade in der Ebene liegt? Das Gleichungssystem hat viele Lösungen und eine Variable ist frei wählbar. Beispiel: Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 3) +r ( 1) 2 7 4 3 und E: x= ( 4) +r ( 2) +s ( -1) 9 6 1 7 1 2 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 3) +r ( 1) = ( 4) +s ( 2) +t ( -1) 2 7 9 6 1 4 3 7 1 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 +r = 4 +2s -1t 2 +7r = 9 +6s +t 4 +3r = 7 +s +2t So formt man das Gleichungssystem um: r -2s +t = 1 7r -6s -1t = 7 3r -1s -2t = 3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )