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Konvergenz im quadratischen Mittel Wünsche nochmals einen guten Abend. Für n = 2, 3,... sei Geben Sie eine Funktion f an, gegen die die Folge (f_n) im quadratischen Mittel konvergiert. Ich habe mich zunächst einmal mit der Begrifflichkeit vertraut gemacht. Wir haben "Konvergiert im quadr. Mittel" so definiert: Eine Folge f_n konvergiert genau dann im quadratischen Mittel gegen, wenn Nun habe ich einfach mal ein paar Werte für n in die Funktion oben eingesetzt um mir ein Bild machen zu können n = 2, 4, 8 Irgendwie komme ich jetzt nicht auf die Lösung. Mir ist klar, dass 0 und 1 bei der Funktion f eine große Rolle spielen. Auf welchem Intervall durchschaue ich jetzt aber nicht. Aber dann weiß ich nicht, wie ich mit n(x-(0, 5 - 1/n)) umgehe. Wie muss ich die Fragezeichen ausfüllen? Grüße Flaky 30. 12. 2007, 21:37 system-agent Auf diesen Beitrag antworten » das intervall "in der mitte" wird immer kleiner je grösser dein wird und weil ein integral die veränderung eines funktionswertes an einer stelle nicht spürt würde ich mal versuchen... ist aber lediglich eine erste idee...
Wäre 〈 f, g 〉 ein echtes (positiv definites) Skalarprodukt, so würde die Eigenschaft (c) wieder für alle Vektoren gelten. Dies ist aber nicht der Fall, und deswegen erhalten wir nur eine Seminorm. Die Vektoren mit der 2-Seminorm 0 bilden einen Unterraum W von V. Wir können sie miteinander identifizieren und im Quotientenraum V/W arbeiten. Dadurch würde unser Skalarprodukt echt werden. Für unsere Absichten erscheint dieser technische Schritt aber verzichtbar. Die 2-Seminorm induziert den folgenden Konvergenzbegriff: Definition ( Konvergenz im quadratischen Mittel) Seien (f n) n ∈ ℕ eine Folge in V und f ∈ V. Dann konvergiert (f n) n ∈ ℕ im quadratischen Mittel gegen f, in Zeichen lim n f n = f (in 2-Seminorm), falls lim n ∥f − f n ∥ 2 = 0. Wir formulieren diesen Konvergenzbegriff nochmal explizit mit Hilfe von Integralen. Da lim n x n = 0 für reelle x n ≥ 0 genau dann gilt, wenn (x n) n ∈ ℕ eine Nullfolge ist, können wir die in der Seminorm verwendete Wurzel weglassen. Gleiches gilt für den Normierungsfaktor 1/(2π) der Definition des Skalarprodukts.
Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst. Das quadratische Mittel (oder der quadratische Mittelwert QMW, englisch: root mean square RMS) ist derjenige Mittelwert, der berechnet ist als Quadratwurzel des Quotienten aus der Summe der Quadrate der beachteten Zahlen und ihrer Anzahl. Die zwei Zahlen 1 und 2 haben z. B. den quadratischen Mittelwert ( arithmetisches Mittel = 1, 5; die größere Zahl 2 wird beim quadratischen Mittel stärker bewertet). Wegen der Quadrierung wird das quadratische Mittel auch zweites (absolutes) Moment genannt. Das "dritte Moment" wäre die Mittelung in der dritten Potenz (auch kubisches Mittel genannt) usw. Berechnung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für die Berechnung des QMW einer Zahlenreihe werden zunächst die Quadrate aller Zahlenwerte addiert und durch ihre Anzahl n dividiert.
Wir untersuchen nun die Fourier-Reihen beliebiger integrierbarer periodischer Funktionen. Im Folgenden sei V = { f: ℝ → ℂ | f ist 2π-periodisch und Riemann-integrierbar auf [ 0, 2π]}. Die Menge V bildet mit der Skalarmultiplikation αf, α ∈ ℂ, und der punktweisen Addition f + g einen ℂ -Vektorraum. Weiter sind mit einer Funktion f immer auch die Funktionen Re(f), Im(f), |f| und f Elemente von V. Wir führen nun eine geometrische Struktur auf dem Vektorraum V ein, die insbesondere auch erklären wird, warum wir die Eigenschaft ∫ 2π 0 e i n x e −i k x dx = δ n, k · 2 π als Orthogonalität der Funktionen e i k x bezeichnet haben. (Der Leser vergleiche die folgende Konstruktion auch mit "Normen aus Skalarprodukten" in 2. 3. ) Definition ( Skalarprodukt für periodische Funktionen) Für alle f, g ∈ V setzen wir: 〈 f, g 〉 = 1 2π ∫ 2π 0 f (x) g(x) dx. In der Definition verwenden wir, dass das Produkt zweier integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist. fg fg Illustration des Skalarprodukts für reelle Funktionen f und g.
Die Quadratwurzel daraus ergibt den QMW:. Aus geometrischer Sicht ermittelt man aus der Zahlenreihe Quadrate und aus ihnen ein Quadrat durchschnittlicher Fläche bzw. mittlerer Größe (der Radikand unter der Wurzel). Die Wurzel bzw. Seitenlänge dieses Quadrates ist das quadratische Mittel der Zahlenreihe bzw. der Seitenlängen aller Quadrate. Für fortlaufend vorhandene Größen muss über den betrachteten Bereich integriert werden:; bei periodischen Größen, beispielsweise dem sinus förmigen Wechselstrom, integriert man über eine Anzahl von Perioden. Anwendung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der Technik hat das quadratische Mittel große Bedeutung bei periodisch veränderlichen Größen wie dem Wechselstrom, dessen Leistungs umsatz an einem ohmschen Widerstand ( Joulesche Wärme) mit dem Quadrat der Stromstärke ansteigt. Man spricht hier vom Effektivwert des Stromes. Der gleiche Zusammenhang gilt bei zeitlich veränderlichen elektrischen Spannungen. Bei einer Wechselgröße mit Sinusform beträgt der QMW das -fache des Scheitelwerts, also ca.
Im oberen Bild gilt 〈 f, g 〉 = 0, da der signierte Flächeninhalt aus Symmetriegründen gleich 0 ist. Im unteren Bild überwiegen die negativen Flächen, sodass hier 〈 f, g 〉 < 0. Lesen wir das Integral als unendlich feine Summe, so besitzt das Skalarprodukt die vertraute Form "Summe von Produkten" der kanonischen Skalarprodukte im ℝ n bzw. ℂ n. In der Tat gelten bis auf eine Ausnahme alle aus der Linearen Algebra bekannten Eigenschaften eines Skalarprodukts für ℂ -Vektorräume: Satz (Eigenschaften des Skalarprodukts auf V) Für alle f, g, h ∈ V und alle α ∈ ℂ gilt: (a) 〈 f + g, h 〉 = 〈 f, h 〉 + 〈 g, h 〉, 〈 f, g + h 〉 = 〈 f, g 〉 + 〈 f, h 〉, (b) 〈 α f, g 〉 = α 〈 f, g 〉, 〈 f, α g 〉 = α 〈 f, g 〉, (c) 〈 f, g 〉 = 〈 g, f 〉, (d) 〈 f, f 〉 ∈ ℝ und 〈 f, f 〉 ≥ 0, (e) Ist f stetig und f ≠ 0, so ist 〈 f, f 〉 > 0. Zu einem waschechten Skalarprodukt fehlt nur die Gültigkeit der letzten Eigenschaft für alle Elemente aus V. Trotzdem ist es üblich, 〈 f, g 〉 als Skalarprodukt zu bezeichnen. In der Sprache der Linearen Algebra liegt lediglich eine positiv semidefinite Hermitesche Form auf V vor.
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