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Somit liegt σ 1 immer rechts von σ 2. Wir lesen die obigen Werte ab und erhalten in etwa: Du kannst auch jederzeit überprüfen, ob der Wert, den du abgelesen hast richtig ist, indem du die Hauptnormalspannungen mittels der folgenden Formel berechnest: Hauptschubspannungen Treten die Hauptschubspannungen auf, so nehmen die Normalspannungen ihren mittleren Wert an. Du ziehst also eine Hilfslinie ausgehend von der mittleren Normalspannung σ M (=Kreismittelpunkt) in positive und negative τ-Richtung bis zum Rand des Mohrschen Spannungskreises. Dort liegt die maximale und minimale Hauptschubspannung: Einsetzen der Werte: Videos: Zeichnen & Spannungen ablesen In den folgenden Videos schauen wir uns nochmal im Detail an, wie du den Mohrschen Spannungskreis zeichnest und die Spannungen abliest. [TM2] Technische Mechanik 2 - Festigkeitslehre - Technikermathe. Lernclip Mohrscher Spannungskreis wie gehts weiter Wie geht's weiter? Du hast nun alle relevanten Spannungen aus dem Mohrschen Spannungskreis abgelesen. Im nächsten Kursabschnitt schauen wir uns an, wie die Hauptrichtungen der Hauptnormalspannungen und Hauptschubspannungen abgelesen werden.
Nicht zu klein, weil sonst die Spannungen nicht genau abgelesen werden können und auch nicht zu groß, so dass der Spannungskreis noch auf das Zeichenblatt passt. Für unser Beispiel werden die beiden Punkte P 1 (40|-12) und P 2 (-25|-(-12)) = P2(-25|12) abgetragen und miteinander verbunden: Mohrscher Spannungskreis, Beispiel, Zeichnen Kreismittelpunkt festlegen Vorgehen! Schritt 3: Der Kreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der σ-Achse. Hier ist auch gleichzeitig die mittlere Normalspannung σ M gegeben. Spannungskreis zeichnen Kreis zeichnen Vorgehen! Schritt 4: Der Kreis verläuft durch die beiden Punkte P1 und P2. Zum Zeichnen des Kreises wird ein Zirkel benötigt. Dieser wird im Kreismittelpunkt (bei der mittleren Normalspannung angesetzt. Definition - Mohrsche Spannungskreis - item Glossar. Es wird dann ein Kreis durch die beide Punkte P 1 und P 2 gezogen. Mohrscher Spannungskreis: Spannungen ablesen Nachdem wir den Mohrschen Spannungskreis gezeichnet haben, wollen wir als nächstes die Spannungen und Winkel ablesen.
In der obigen Grafik ist nur der Winkel zur negativen $\sigma$-Achse (zur $\sigma_2$ gehörend) eingezeichnet: $2\alpha^*_2 \approx 22°$ $\alpha^*_2 = 11°$ Der Winkel zur positiven $\sigma$-Achse von der Verbindungslinie ($P_1$ - $\sigma_m$) ausgehend ergibt (nicht eingezeichnet): $2 \alpha^*_1 \approx 202°$ $\alpha^*_1 = 101°$ Rechnerische Probe: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$ $2\alpha^* = \tan^{-1} 0, 4 = 21, 80°$. $\alpha^* = 10, 9°$ Da beide Hauptnormalspannungen senkrecht aufeinander stehen, können wir die andere Hauptrichtung wie folgt bestimmen: $\alpha^* + 90° = 10, 9° + 90° = 100, 9° Rechnerisch können wir über die Transformationsgleichungen herausfinden, welcher Winkel zu welcher Hauptnormalspannung gehört: $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (-30 + 20) + \frac{1}{2} ( -30 - 20) \cos (2 \alpha) - 10 \sin (2 \alpha) $ $= -31, 93 MPa = \sigma_2$ Damit gehört - wie bereits grafisch ermittelt - der Winkel $\alpha^* = 10, 9° zur Hauptnormalspannung $\sigma_2$.
Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei ((σ x +σ y)/2, 0). Eine der drei Hauptnormalspannungen ist hier stets 0 und die zugehörige Hauptnormalspannungsrichtung ist die z-Richtung. Das liefert einen dritten gelben Punkt bei (0, 0). Beim dreiachsigen Spannungszustand existieren im Allgemeinen auf einer jeden Schnittfläche 2 Schubspannungen in zueinander senkrechten Raumrichtungen. Für deren Darstellung muss man sie zu einer resultierenden Schubspannung zusammenfassen. Dabei gehen Vorzeichen verloren. Somit hat man hier, anders als im zweiachsigen Falle, keine Punkte unterhalb der σ-Achse. Ferner liegen die 3 roten Punkte (σ x, (τ xy 2 +τ xz 2) 1/2), (σ z, (τ zx 2 +τ zy 2) 1/2) des Spannungszustandes jetzt nicht mehr unbedingt auf einer Kreisperipherie sondern können auch im schattierten Bereich zwischen den Kreisen liegen. Errechnet werden die 3 Hauptnormalspannungen als Eigenwerte des Spannungstensors S, der folgendermaßen belegt ist: σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z Wird außer den 6 Spannungen auch ein Richtungsvektor angegeben, werden die zu dieser Richtung zugehörige Normalspannung und Schubspannung berechnet.
Daraus folgt, dass der Winkel $\alpha^* = 100, 9°$ zur Hauptnormalspannung $\sigma_1$ gehört. Hauptschubspannung Die Hauptschubspannung befindet sich dort, wo die mittlere Normalspannung gegeben ist: $\tau_{max} \approx 27 MPa$. Rechnerische Probe: $\tau_{max} = \pm \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} = 27 MPa$. Hauptrichtungen zeichnerisch Die Hauptrichtungen werden mit dem Winkel $\alpha^*$ wie folgt eingezeichnet. Von $\sigma_1$ aus durch den Punkt $(\sigma_x | \tau_{xy})$ ergibt die Hauptrichtung für $\sigma_2$. Von $\sigma_2$ durch den selben Punkt ergibt die Hauptrichtung für $\sigma_1$ (siehe auch vorherigen Abschnitt). Merke Hier klicken zum Ausklappen Es muss immer durch den Punkt $P_1(\sigma_x | \tau_{xy})$ gezeichnet werden. In diesem Beispiel ist der Punkt der links unten, weil $\sigma_x \le \sigma_y$. Tritt der umgekehrte Fall ein, so befindet sich der Punkt oben rechts und muss für die Einzeichnung der Hauptrichtungen verwendet werden. Hauptrichtungen Koordinatentransformation Der Drehwinkel $\beta = 40°$ ist positiv.
Mittlere Normalspannung Die erste Spannung, die wir bereits vor dem Zeichnen des Kreises ablesen können, ist die mittlere Normalspannung σ M, die sich aus dem Schnittpunkt der Verbindungslinie mit der σ-Achse ergibt: In unserem Beispiel beträgt die mittlere Normalspannung: Merk's dir! Merk's dir! Aus der vorherigen Lektion weißt du bereits, dass die mittlere Normalspannung dann auftritt, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen (Hauptschubspannungen). Du kannst auch jederzeit überprüfen, ob der Wert, den du abgelesen hast richtig ist, indem du einfach die mittlere Normalspannung mittels der folgenden Formel berechnest: Einsetzen der Werte ergibt: Hauptnormalspannungen Treten die Hauptnormalspannungen (Extremwerte der Normalspannungen) auf, dann verschwinden die Schubspannungen. Mit diesem Wissen können wir die Hauptnormalspannungen ganz einfach ablesen. Sie befinden sich am Rand des Mohrschen Spannungskreises auf der σ-Achse: Wichtig: Die Hauptnormalspannung σ 1 ist immer größer als die Hauptnormalspannung σ 2.
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