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23. 08. 2011, 12:32 Lokod Auf diesen Beitrag antworten » Satz von Cantor (Potenzmenge) Meine Frage: Für alle X, |X| < |P(X)|. Es wird dabei mit der Menge Y argumentiert, die alle Elemente aus X enthält, die nicht in f(x) liegen. Danach wird daraus, dass diese Menge nicht im Bild von f liegt, ein Widerspruch erzeugt. Wieso muss Y notwendig eine Teilmenge von P(X) sein? Bzw. wie ist die Existenz von Y gerechtfertigt? Meine Ideen: Eigentlich komm ich mit den ganzen Beweisen in der Mengenlehre ganz gut zu Recht, aber der sagt mir nicht sehr viel. 23. 2011, 14:44 Grouser Mit deiner "Erklärung" des Beweises kann ich nichts anfangen. Wir wissen nicht von welcher Abbildung du redest und somit auch nicht wie Y aussieht. Cantor satz von - LEO: Übersetzung im Englisch ⇔ Deutsch Wörterbuch. Wo der Widerspruch gebildet wird, erwähnst du auch nicht. Wenn wir dir einen Beweis erklären sollen, wirst du uns den Beweis zur Verfügung stellen müssen.
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Eine passende Bezeichnung für den Äquivalenzsatz wäre Cantor-Dedekindscher Äquivalenzsatz oder Cantor-Dedekind-Bernsteinscher Äquivalenzsatz. Zudem hat Bernstein darauf hingewiesen, dass Cantor selbst die Bezeichnung "Äquivalenzsatz" vorgeschlagen habe. Satz Das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem lautet: Sei eine Menge gleichmächtig zu einer Teilmenge einer Menge, und sei gleichmächtig zu einer Teilmenge von. Dann sind und gleichmächtig. Dabei heißen zwei Mengen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Ausgedrückt durch die Mächtigkeiten von lautet das Theorem: Aus folgt. Dabei gilt genau dann, wenn gleichmächtig sind, und gilt genau dann, wenn gleichmächtig zu einer Teilmenge von ist, das heißt, wenn es eine injektive Abbildung von in gibt. Ausgedrückt durch die Eigenschaften von Funktionen lautet das Theorem: Seien Mengen mit einer Injektion und einer Injektion. Satz von cantor youtube. Dann existiert eine Bijektion. Beweisidee Im Folgenden ist hier eine Beweisidee gegeben. Definiere die Mengen:,,.
Wie kommt man auf die Menge D = { x ∈ M | x ∉ f (x)}? Bei genauerem Hinsehen erweist sich die Konstruktion von D als eine Diagonalisierung, wie sie uns in den Beweisen der Überabzählbarkeit von ℝ und von | ℝ | < | 𝔉 | bereits begegnet ist: Wir identifizieren eine Teilmenge A von M mit ihrer Indikatorfunktion ind A, M: M → { 0, 1}, wobei wieder ind A, M (x) = 1 gdw x ∈ A. Die Potenzmenge von M wird dann zu M { 0, 1}, der Menge aller Indikatorfunktionen auf M. Sei nun f: M → M { 0, 1}. Wir suchen ein d ∈ M { 0, 1} mit f (x) ≠ d für alle x ∈ M. Wir können aber d verschieden von allen f (x) konstruieren durch: d ( x) = 1, falls f ( x) ( x) = 0, 0, falls f ( x) ( x) = 1, für alle x ∈ M. Satz von Cantor – Wikipedia. Dann gilt d(x) ≠ f (x)(x) für alle x ∈ M, also ist d ∉ rng(f). Die Senkrechte des Diagramms repräsentiert M. Die Waagrechten seitlich der Senkrechten stehen für Funktionen f (x) ∈ M {0, 1}, die man sich als 0-1-Folgen vorstellen kann. Die oberste Waagrechte ist der Definitionsbereich dieser Funktionen. Die Diagonale steht für die konstruierte Funktion d ∈ M { 0, 1} − ebenfalls eine 0-1-Folge.
Aber Cantors Argument, das folgt und das er für unendliche Mengen entwickelt hat, gilt tatsächlich auch für endliche Mengen. Allgemeiner Fall Für diesen Satz geben wir uns mit einem Ansatz der Kardinalität, insbesondere von unendlichen Mengen, durch Äquipotenz zufrieden. Von einer Menge A zu sagen, dass sie eine Kardinalität hat, die streng niedriger ist als die einer Menge B, bedeutet zu sagen, dass es eine Injektion von A nach B gibt, aber keine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen. Gleichwertig (von der Cantor-Bernstein - Theorem), ist es auch sagen, dass es eine Injektion von ist A in B, aber nicht Einspritzung B in A. Die Existenz einer Injektion von E in P ( E) ist unmittelbar (Assoziieren eines Elements mit seinem Singleton). Um zu zeigen, dass es keine Bijektion gibt, lautet Cantors Argument, das als diagonales Argument bekannt ist, wie folgt. Sei f eine Abbildung einer Menge E auf ihre Menge von Teilen P ( E). Satz von Cantor. Dann die Teilmenge der Elemente von E, die nicht zu ihrem Bild gehören, durch f: hat keine Geschichte, die das Bild zu sagen, ist f jedes Element von E.
Oder x_B ~:elem: B. Dann muss x_B also zu den (zugeordneten bzw. zuordbaren) x in X iSv 2. gehören, was aber nicht sein kann, denn die sind ja schon "verbraten". Also muss x_B doch zu B gehören und es kommt wieder zu o. g. Widerspruch. Satz von cantor music. Es gibt noch einen weiteren Widerspruch, denn wenn x_B ~:elem: B, dann widerspricht das ja sowieso schon der Bijektionsannahme von oben. Dadurch wird klar: Es kann kein x_B geben und dadurch bleibt B von P(X) unzugeordnet und damit P(X) > X. Ist das so in etwa korrekt wiedergegeben? Meinen Beweis finde ich übrigens irgendwie einleuchtender, Cantor geht mE einen unnötig komplizierten Weg.
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