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Teile nun die 3 erneut durch die 2. Primzahl: 3: 3 = 1 Rest 0. Die 3 ist auch ganzzahlig durch 3 teilbar, du hast damit den dritten Primfaktor gefunden: die 3! 18 → 2·3· 3 10. Übrig bleibt noch die 1, damit bist du mit der Primfaktorenzerlegung fertig. Die Zahl 18 besteht daher aus den Primfaktoren 2 · 3 · 3. 18 → 2·3·3 11. Aus den ganzen Primzahlen baust du dir jetzt dein kleinstes gemeinsames Vielfaches: Vom der ersten Zahl benötigst du alle Bestandteile ( 2 · 2 · 3). kgV → 2·2·3 12. Die zweite Zahl besteht aus den Bestandteilen 2 · 3 · 3. Du benötigst jedoch nur den drittem Bestandteil ( die 3), da du die beiden Bestandteile 2 · 3 bereits von der ersten Zahl verwendet hast. Das vielfache von 13. 18 → 2·3 ·3 kgV → 2·2·3 ·3 13. Dein kleinstes gemeinsames Vielfaches der Zahlen 12 und 18 beträgt daher 36 (2 · 2 · 3 · 3 = 36). kgV → 2·2·3·3 kgV → 36 Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die Vielfaches von beiden Zahlen ist.
Hierbei zerlegst du eine Zahl in ihre kleinsten Bestandteile, die so genannten Primzahlen. Eine Primzahl ist eine besondere Zahl, die nur durch 1 und sich selbst ganzzahlig (ohne Rest) teilbar ist. Die Zahl 5 ist eine Primzahl, da sie nur durch 1 und sich selbst (5) ganzzahlig teilbar ist: Teilst du die 5 ganzzahlig durch 2, lautet dein Ergebnis 5: 2 = 2 Rest 1. Da ein Rest übrig bleibt, ist sie nicht ganzzahlig durch 2 teilbar. Teilst du sie ganzzahlig durch 3, erhältst du wieder einen Rest (5: 3 = 1 Rest 2). Teilst du sie ganzzahlig durch 4, erhältst du erneut einen Rest (5: 4 = 1 Rest 1). Erst wenn du sie wieder durch 5 teilst, kommt ein Rest von 0 heraus. Daher hat die Zahl 5 nur den Teiler 1 und 5. Die Zahl 6 ist dagegen keine Primzahl. 6 ist durch 2 ganzzahlig teilbar (6: 2 = 3 Rest 0) ebenso durch 3 (6: 3 = 2 Rest 0). Daher hat die Zahl 6 mehrere Teiler als nur 1 und 6 und ist daher keine Primzahl. Vielfache von 13 000. Bei der Primfaktorenzerlegung teilst du deine Zahl so lange durch die erste Primzahl, bis sie nicht mehr ganzzahlig teilbar ist.
Dann zeigt er, dass sich die Volumina von gleich hohen Pyramiden mit dreieckiger (oder allgemein polygonaler) Grundfläche wie die Flächeninhalte der Grundflächen verhalten. Im nächsten Schritt stellt er dar, wie man ein Prisma in drei volumengleiche Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche zerlegen kann. Aus dem Satz, dass sich die Volumina von zueinander ähnlichen Pyramiden wie die Kuben entsprechender Kantenlängen verhalten, und dem Satz, dass die Grundflächen von volumengleichen Pyramiden umgekehrt proportional zu den Höhen sind, ergibt sich schließlich, dass das Volumen einer Pyramide genau ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe ausmacht. Eudoxos beschäftigt sich auch mit dem Deli'schen Problem der Würfelverdopplung. Vielfache von 13 minute. Eratosthenes (276 – 194 vor Christus) berichtet, dass Eudoxos, der Gottähnliche, eine graphische Lösung des Problems gefunden habe. Leider sind keine näheren Einzelheiten hierzu überliefert. Platon soll allerdings die Vorgehensweise kritisiert haben, weil hierdurch die Mathematik verunreinigt würde.
Um 368 besucht er Athen ein zweites Mal, begleitet von seinen Schülern, und kehrt anschließend als angesehener Bürger in seine Geburtsstadt Knidos zurück, wo er ein Observatorium errichtet. Seine astronomischen Beobachtungen bilden die Grundlage für (mindestens) ein Werk, das Hipparchos von Rhodos (190 – 120 vor Christus) zu seinen Untersuchungen und Überlegungen dient, wie dieser dankbar berichtet. Durch Aristoteles (384 – 322 vor Christus) ist überliefert, dass Eudoxos ein System zur Beschreibung der Planetenbewegungen entwickelt hat. Was sind die ersten fünf Vielfachen von 7? 2022. Dieses besteht aus 27 Sphären, in deren Mittelpunkt sich die Erde befindet. Auch verfasst Eudoxos ein aus sieben Bänden bestehendes Werk zur Geografie, in dem er die Länder und Völker der bekannten Welt beschreibt, die politischen Systeme in diesen Ländern erläutert und über die religiösen Vorstellungen der Völker berichtet. Auch dieses Werk ist verschollen, wird aber von zahlreichen später lebenden Autoren der Antike zitiert. Die Entdeckung des Pythagoräers Hippasos von Metapont, dass nicht alle in der Geometrie auftretenden Größen kommensurabel sind, also mit einem gemeinsamen Maß messbar, hatte um das Jahr 500 vor Christus die bis dahin geltende Lehrmeinung "Alles ist Zahl" erschüttert.
Buch XII der Elemente beschäftigt sich mit Flächeninhalten und Volumina. Auch diese Ausführungen beruhen überwiegend auf Sätzen und Beweisen, die Euklid von Eudoxos übernimmt. Der Beweis von Satz 2: Flächeninhalte von Kreisen verhalten sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser wird mithilfe der Methode des indirekten Beweises ( reductio ad absurdum) geführt. Natürliche Zahlen unter 100 ermitteln, die Vielfache von 3 und 4 sind | Mathelounge. Die Annahme, das Verhältnis der Kreisflächen sei kleiner als das Verhältnis der Quadrate der Durchmesser, führt zum Widerspruch ebenso wie die Annahme, das Verhältnis sei größer. Analog erfolgt dann auch der Beweis für Satz 18: Volumina von Kugeln verhalten sich wie Kuben ihrer Durchmesser. Die zwischen Satz 2 und Satz 18 stehenden Sätze beschäftigen sich mit der Berechnung des Volumens einer Pyramide beziehungsweise eines Kegels. Bereits Demokrit (460 – 370 vor Christus) kannte die Formeln, aber wie Archimedes in seiner Schrift Über Kugel und Zylinder ausführt, erfolgte der Beweis der Formeln erst durch Eudoxos. Zunächst erläutert er, wie Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche in zwei gleiche, zur gesamten Pyramide ähnliche Pyramiden und zwei Prismen zerlegt werden können.
Das erkennst du daran, dass du ein Rest größer 0 erhältst. Ist dies der Fall, teilst du deine Zahl so lange durch die nächste Primzahl, bis auch sie nicht mehr ganzzahlig teilbar ist (Rest größer 0). Anschließend teilst du deine verbleibende Zahl durch die nächste Primzahl usw. Bleibt am Schluss noch die Zahl 1 übrig, bist du mit der Primfaktorenzerlegung fertig. Hast du nun auf diese Weise jede Zahl zerlegt, musst du nur noch die einzelnen Bestandteile miteinander multiplizieren, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten. So suchst du das kleinste gemeinsame Vielfache: So sieht's aus: Du sollst von diesen beiden Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache suchen: 12 18 1. Zerlege deine erste Zahl in ihre Primfaktoren. Eudoxos von Knidos, der Schöpfer der Exhaustionsmethode - Spektrum der Wissenschaft. Teile sie zuerst durch die 1. Primzahl, die 2: 12: 2 = 6 Rest 0. Die 12 ist ganzzahlig durch 2 teilbar, du hast damit den ersten Primfaktor gefunden: die 2! 12:2=6 Rest 0 12 → 2 2. Teile nun die 6 erneut durch die 1. Primzahl: 6: 2 = 3 Rest 0. Die 6 ist auch ganzzahlig durch 2 teilbar, du hast damit den zweiten Primfaktor gefunden: die 2!
Beispielsweise kann das Verhältnis der Länge einer Diagonale eines Quadrats zur Seitenlänge des Quadrats nicht durch das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen beschrieben werden. Eudoxos findet einen genialen Weg, mit diesem Problem umzugehen. Euklid übernimmt später (um das Jahr 300 vor Christus) die Proportionenlehre des Eudoxos als Buch V der Elemente. Zunächst definiert Eudoxos, was unter einem Verhältnis zu verstehen ist: Ein Verhältnis ist die Beziehung zweier vergleichbarer Dinge der Größe nach (V. 3). Ein Verhältnis gibt an, wie oft die erste Größe die zweite übertrifft, wenn es mit der zweiten vervielfacht wird (V. 4). Dann erfolgt die – auf den ersten Blick – kompliziert erscheinende, jedoch äußerst geschickte Definition V. 5: Größen stehen im gleichen Verhältnis, die erste zur zweiten wie die dritte zur vierten, wenn für beliebige, aber gleiche Vielfache der ersten und der dritten Größe und für beliebige, aber gleiche Vielfache der zweiten und vierten Größe gilt, dass die paarweise betrachteten Vielfachen entweder beide größer oder beide gleich oder beide kleiner sind.