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Übersicht Hinweise Der im Folgenden beschriebene Unterrichtsgang zum Thema Normalverteilung berücksichtigt in besonderer Weise, dass im Basisplan "Inhalte […] im Unterricht stärker vorstrukturiert [werden] und Argumentationen […] häufig anschaulich oder durch heuristische Betrachtungen [erfolgen]. " Zudem soll der Unterricht im Basisfach "verstärkt realitätsbezogen" sein. 1 Im Kopftext zur Leitidee "Daten und Zufall" wird ausdrücklich darauf verwiesen, dass die Schülerinnen und Schüler ihr Verständnis für die Binomialverteilung weiterentwickeln sollen. Zuerst zur zehn zurück zur zehn mathe 4. So beginnt der Unterrichtsgang mit einer Wiederholung der in Klasse 10 erworbenen Kenntnisse und Fertigkeiten auf dem Gebiet der Binomialverteilung. Dies ist insbesondere auch deshalb wichtig, damit im Folgenden die Begriffe "diskret" und "stetig" gegeneinander abgegrenzt werden können. Diese Wiederholung wird noch erweitert um die Erkenntnis, dass im Histogramm die Trefferwahrscheinlichkeit nicht nur an der Höhe der Säulen abgelesen werden kann, sondern auch als Fläche der Säule interpretiert werden kann.
Sie erfahren, dass sich viele Datensätze durch Glockenkurven beschreiben lassen und dass die zugehörige Zufallsgröße als normalverteilt bezeichnet wird. Sie erkennen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsgrößen annähernd durch die Fläche unter der Glockenkurve ermitteln lassen. Sie entdecken den Zusammenhang zwischen der Form der Glockenkurve und den Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung und sind somit in der Lage, anhand der Kenngrößen die zugehörige Glockenkurve zu skizzieren. Sie lernen bzw. wiederholen, wie Erwartungswert und Standardabweichung aus einem Datensatz ermittelt werden (mit und ohne WTR). Schülerseminar Mathematik | | Universität Stuttgart. Der Einsatz des WTR zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten kann wahlweise ab Schritt 3 oder erst nach Schritt 5 erfolgen. 1 Bildungsplan 2016, Mathematik – Ergänzung Basisfach Oberstufe (Stand 20. 11. 2018) Unterrichtsgang: Herunterladen [pdf][185 KB] Unterrichtsgang: Herunterladen [docx][56 KB] Weiter zu Übersicht
b) Zu jeder reellen Zahl x ist x + 1 ein Urbild: f ( x + 1) = ( x + 1) - 1 = x, also ist die Abbildung surjektiv. c) Wegen " injektiv + surjektiv = bijektiv " muss auch c) angekreuzt werden. zurück zur Frage zur nächsten Frage Antwort zur Frage 5: Die Behauptung ist wahr, eine kurze Beweisskizze: ( f ° g)( x) = ( f ° g)( y) ⇔ f ( g ( x)) = f ( g ( y)) Wegen der Injektivität von f folgt hieraus g ( x) = g ( y) Wegen der Injektivität von g folgt hieraus x = y Antwort zur Frage 2: Richtig: a = 1, b = 1 Nebenrechnung: y = x - 1 ⇔ x = y +1 Die Umkehrfunktion ist daher f -1 ( x) = x + 1, also a = b = +1. Antwort zur Frage 9 Kreuz bei a): Hoffentlich nicht irritieren lassen: Die Anzahl aller Bijektionen zwischen zwei Mengen mit n Elementen ist natürlich n! Antwort zur Frage 4: Falsch, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt: Die Funktionen f ( x) = x und g ( x) = - x sind bijektiv und damit injektiv, aber ( f + g)( x) = f ( x) + g ( x) = x - x = 0 ist ganz sicher nicht injektiv! Unterrichtsgang. Antwort zur Frage 8: Nur b) ist anzukreuzen: Obwohl für | A | = 1 auch c) und d) und für | A | = 3 auch d) richtige Zahlen liefern, wird nur b) als korrekt anerkannt: Die Anzahl aller bijektiven Abbildungen einer Menge mit n Elementen ist n!
In diesen Erklärungen erfährst du, wie du Zeitspannen und Zeitpunkte berechnen kannst. Die Zeitspanne berechnen: Stunden und Minuten Die Dauer von einem Zeitpunkt (zum Beispiel 8:15 Uhr) zu einem anderen Zeitpunkt (zum Beispiel 8:47 Uhr) bezeichnet man als Zeitspanne. Grundkonstruktionen | Learnattack. Kennst du die beiden Zeitpunkte, so kannst du die Zeitspanne dazwischen berechnen. Bestimme die Zeitspanne: Zeitspanne berechnen Bestimme die Zeitspanne: Zeitspanne berechnen Bestimme die Zeitspanne: Zeitspanne berechnen Den zweiten Zeitpunkt berechnen: Stunden und Minuten Die Dauer von einem Zeitpunkt (zum Beispiel 8:15 Uhr) zu einem anderen Zeitpunkt (zum Beispiel 8:47 Uhr) bezeichnet man als Zeitspanne. Kennst du den ersten Zeitpunkt und die Zeitspanne, so kannst du den zweiten Zeitpunkt berechnen. Bestimme den zweiten Zeitpunkt: Zweiten Zeitpunkt berechnen Bestimme den zweiten Zeitpunkt: Zweiten Zeitpunkt berechnen Bestimme den zweiten Zeitpunkt: Zweiten Zeitpunkt berechnen Den ersten Zeitpunkt berechnen: Stunden und Minuten Die Dauer von einem Zeitpunkt (zum Beispiel 9:25 Uhr) zu einem anderen Zeitpunkt (zum Beispiel 9:40 Uhr) bezeichnet man als Zeitspanne.
Dies legt die Grundlage für den Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsgrößen und der Fläche unter den zugehörigen Glockenkurven. Zuerst zur zehn zurück zur zehn mathematics. Ebenso kann dem Kopftext entnommen werden, dass es genügt, wenn die Schülerinnen und Schüler Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgröße ohne expliziten Bezug zur Analysis berechnen. Um den WTR aber nicht ausschließlich als "Blackbox" zu nutzen, soll im Unterrichtsgang erfahren werden, dass es einen unmittelbaren Bezug zwischen der Fläche unter der Glockenkurve und den zu ermittelnden Wahrscheinlichkeiten gibt. Die Funktionsgleichungen der Glockenkurven müssen im Basisfach nicht thematisiert werden, können aber für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler als Vertiefung angeboten werden. Der verstärkte Realitätsbezug und der lediglich anschauliche Bezug zur Analysis bilden die Grundlage des im Folgenden skizzierten Unterrichtsgangs, der nach der Wiederholung der Binomialverteilung folgenden Weg einschlägt: Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass es Zufallsgrößen gibt, die nicht nur diskrete Werte annehmen können, sondern auf einem Intervall definiert sein können.
So können dir eventuelle Tippfehler früh genug auffallen. Zugehörige Klassenarbeiten
Antwort zur Frage 7: Kreuze bei a) und b): Diese Frage ist ganz einfach zu beantworten, wenn man beispielsweise an die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen denkt: Die Mengen der rationalen Zahlen Q ist abzählbar. Es gibt also eine Bijektion von IN nach Q (und damit ist deren Umkehrfunktion eine Bijektion von Q nach IN). Zuerst zur zehn zurück zur zehn mathe in english. Diese Abbildungen sind Beispiele für a) bzw. b). Wem das immer noch zu kompliziert ist: Die Menge der ganzen Zahlen ist eine echte Teilmenge der geraden ganzen Zahlen, die Abbildung f ( z):= 2 z ist eine Bijektion zwischen diesen Mengen. zurück zur Frage zur nächsten Frage Antwort zur Frage 10: Kreuz bei c) und d): Wenn f: A → B eine injektive, aber nicht surjektive und g: B → C eine surjektive, aber nicht injektive Abbildung ist, dann kann g ° f alles Mögliche sein: Im ersten Fall ist g ° f bijektiv, im zweiten Fall weder injektiv noch surjektiv. zurück zur Frage zur Auswertung Antwort zur Frage 6: a) ist falsch, b) richtig: Ein unmathematisches Gegenbeispiel zu a): Ich kann meine zehn Finger sicherlich bijektiv auf die Menge meiner zehn Zehen abbilden, aber die Menge meiner Finger ist natürlich verschieden von der Menge meiner Zehen.
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