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Hier gibt es jetzt einige Erklärungen und Beispiele zum Pascalschen Dreieck. Am Ende sollt Ihr verstanden haben, was es ist und wofür es benötigt wird. Beim pascalschen Dreieck handelt es sich um die Darstellung der Binomialkoeffizienten in geometrischer Form. Gut wenn man erst einmal weiß, was ein Binomialkoeffizient überhaupt ist. Es handelt sich dabei um eine mathematische Funktion, mit deren Hilfe sich die Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lassen. Zum Beispiel können damit die Möglichkeiten beim Lotto ermittelt werden. Pascalsches Dreieck. Dabei gibt der Binomialkoeffizient an, wie viele Möglichkeiten man hat, Objekte k aus einer Menge n auszuwählen. Dabei wird weder Zurücklegen, noch die Reihenfolge beachtet. Es gibt nur die Möglichkeit bei diesem Dreieck, von oben nach unten zu gelangen. Über den Binomialkoeffizienten kann berechnet werden, wie viele Wege es nach unten gibt. Den Unterschied macht dann die Entscheidung für recht oder links. Pascalsches Dreieck Wir stellen hier an einer Grafik den grundsätzlichen Aufbau dieser mathematischen Funktion dar.
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Die Gesamtanzahl der Wege zu diesem Kästchen ist also die Summe der Anzahl der Wege zu den beiden darüber. Das ist aber genau die Art und Weise, wie das Pascalsche Dreieck konstruiert ist! Andererseits kann man die Anzahl der Wege auch über den Binomialkoeffizienten berechnen. Auf dem Weg nach unten in die n n -te Zeile (mit 0 angefangen zu zählen! ) trifft man nämlich n n mal die Entscheidung, nach links unten oder rechts unten zu gehen. Will man in einer Zeile dann zum k k -ten Kästchen von links (wieder von 0 an) gelangen, muss man sich genau k k mal für "rechts" entschieden haben. Die Wege unterscheiden sich also nur darin, an welchen Stellen man sich für "rechts" entschieden hat. Zum Abzählen muss man also nur die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, aus n n Stellen k k Stellen auszuwählen (die "rechts"-Schritte). Das ist dann aber genau eine der wichtigsten Anwendungen des Binomialkoeffizienten Die Zahlen im Pascalschen Dreieck lassen sich also einerseits rekursiv über die Summe der darüberliegenden Kästchen berechnen, oder direkt mithilfe des Binomialkoeffizienten.
Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur Das Pascalsche Dreieck (nach Blaise Pascal, 1623–1663) ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) ( k = 0, 1, …, n) einer binomischen Formel ( a + b) n der Ordnung n. \(\large\begin{matrix}n=0\\\\1\\\\2\\\\3\\\\4\\\\5\\\\\small\text{usw. }\end{matrix}\) \(\large\begin{matrix} 1\\\\ 1\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;2\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;3\;\;\;\;3\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;4\;\;\;\;6\;\;\;\;4\;\;\;\;1\\\\\ 1\;\;\;\;5\;\;\;\;10\;\;\;\;10\;\;\;\;5\;\;\;\;1\\\\\small\text{usw. }\end{matrix}\) Es gibt eine einfache Konstruktionsregel: Ganz links und ganz rechts steht jeweils eine 1, dazwischen ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen, die eine Zeile weiter oben über ihr stehen. Beispiel: n = 4: 1; 4 = 1 + 3; 6 = 3 + 3; 4 = 3 + 1; 1 Die Summe der Zahlen in der n -ten Zeile ist \(\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n\) (z. B. 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4).
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