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Algebraisch wie jede reale Größe so dass für ein positives reales r (siehe Eulers Formel). Die Größe r ist der Modul (oder Absolutwert) von z, bezeichnet mit | z |: [1] Der Name Betrag, für den Modul und die Phase, [4] [2] für das Argument, werden manchmal in äquivalente Weise verwendet werden. Unter beiden Definitionen ist ersichtlich, dass das Argument einer komplexen Zahl ungleich Null viele mögliche Werte hat: Erstens ist als geometrischer Winkel klar, dass ganze Kreisdrehungen den Punkt nicht ändern, sodass sich die Winkel um ein ganzzahliges Vielfaches unterscheiden von 2π Radiant (ein vollständiger Kreis) sind die gleichen, wie in Abbildung 2 rechts dargestellt. Komplexe Zahlen/ Definition und Grundrechenarten – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. In ähnlicher Weise hat aus der Periodizität von sin und cos auch die zweite Definition diese Eigenschaft. Das Argument Null bleibt normalerweise undefiniert. Figure 3. Der Hauptwert Arg des blauen Punkts bei 1 + i ist π / 4. Die rote Linie hier ist der Astschnitt und entspricht den beiden roten Linien in Abbildung 4 (vertikal übereinander gesehen).
Sei z eine komplexe Zahl. In der trigonometrischen Darstellung ist = | ( cos φ + i sin φ) Für einen konstanten Betrag ist eine Funktion einer Veränderlichen φ. Differenziert man nach φ, so erhält man d - Folglich ist Dies ist eine lineare gewöhnliche Differenzialgleichung erster Ordnung mit der Anfangsbedingung 0) |. Die Gleichung A e erfüllt, da ist. Nach Substitution der Anfangsbedingung erhält man 0 ⋅ 1 Folglich ist die Lösung von Gleichung ist die so genannte Euler´sche Formel oder Exponentialform der komplexen Zahl z. Periodizität von Die Funktionen und sind periodisch mit der Periode 2 π. Diese Periodizität zeigt sich dementsprechend auch in φ, das gleich ist: π) π Diese Gleichheit gilt für jedes ganzzahlige Vielfache von n) n 0, ± 1, 2, … stellt in der komplexen Zahlenebene, sagen wir für 60 ∘ / 3, einen Punkt auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten x, y) 3 2) dar. Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik. Für macht der Punkt entlang des Kreises genau einen Umlauf gegen den Uhrzeigersinn, für 3, entsprechend zwei, drei,... Umläufe.
Der Quotientenkörper des Rings der geraden ganzen Zahlen (ein Ring ohne Eins) ist ebenfalls der Körper. Der Quotientenkörper des Polynomrings wird häufig als der rationale Funktionenkörper definiert. Der Quadratische Zahlkörper ist der Quotientenkörper der Gaußschen Zahlen. Sei der Integritätsring der ganzen Funktionen und der Körper der auf meromorphen Funktionen. Mit dem Weierstraßschen Produktsatz sieht man, dass man jede auf meromorphe Funktion als Quotient zweier ganzer Funktionen schreiben kann, folglich ist. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Thomas W. Hungerford: Algebra. Quotient komplexe zahlen. 5. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-90518-9. Zu Anwendungen in der Funktionentheorie: Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.
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