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Definition des Teilverhältnisses und Spezialfälle Unter dem Teilverhältnis versteht man in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilstrecken einer gegebenen Strecke. Wird z. B. die Strecke durch einen Punkt in zwei Teilstrecken und geteilt (s. Mittelpunkt einer strecke mit vektoren. erstes Beispiel), so ist die Zahl das zugehörige Teilverhältnis. Man könnte allerdings auch den Kehrwert, der durch Vertauschen von entsteht, als Teilverhältnis erklären. Beim Umgang mit Teilverhältnissen ist also unbedingt auf die Bezeichnung der Punkte zu achten. Die große Bedeutung erhält das Teilverhältnis durch die Verallgemeinerung auf beliebige Teilpunkte auf der Geraden durch. Die große Bedeutung des Teilverhältnisses liegt in seiner Invarianz unter affinen Abbildungen (lineare Abbildungen und Translationen) und Parallelprojektionen. Bei projektiven Abbildungen und Zentralprojektionen bleibt das Teilverhältnis im Allgemeinen nicht invariant, aber das sogenannte Doppelverhältnis. In der Literatur findet man die folgende Definition für drei Punkte in der euklidischen Ebene: Für drei verschiedene kollineare Punkte nennt man die Zahl mit der Eigenschaft das Teilverhältnis, in dem der Punkt das Punktepaar teilt, und bezeichnet sie mit oder.
Koordinatendarstellung eines Punktes oder Ortsvektor des Punktes: Verbindungsvektor zweier Punkte: Mittelpunkt der Strecke (als Ortsvektor): Teilungspunkt: Der Punkt, der die Strecke im Verhältnis teilt: Schwerpunkt eines Dreiecks: Geraden [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt mit dem Richtungsvektor: Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und darf nicht der Nullvektor sein. Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte: Der Parameter kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen und. Mittelpunkt einer strecke berechnen vektoren. und müssen verschieden sein. Normalengleichung der Geraden durch den Punkt mit dem Normalenvektor in vektorieller Schreibweise: bzw. Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung durch den Punkt der -Achse: Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur -Achse sein. Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte (auf der -Achse) und (auf der -Achse): Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d. h. es muss und gelten.
Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst. Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet analytische Geometrie. Vorbemerkungen zur Schreibweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten (gleichwertig zu), (gleichwertig zu), (gleichwertig zu) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Vektoren mittelpunkt einer strecke von. Das Skalarprodukt wird durch ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch. Analytische Geometrie der euklidischen Ebene [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bezeichnungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im Folgenden habe der Punkt die Koordinaten; die Punkte in dieser Reihenfolge Punkte [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.
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