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16 Kugeln bilden ein Quadrat. Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entsteht. Beispielsweise ist eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (Folge A000290 in OEIS) Bei einigen Autoren ist die Null keine Quadratzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt. Die Bezeichnung Quadratzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Quadrats her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines Quadrats benötigt, ist immer eine Quadratzahl. Magische Quadrate - magische Summe. So lässt sich beispielsweise ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 mit Hilfe von 16 Steinen legen. Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Quadratzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Kubikzahlen gehören.
Die Summe ist immer 18. 5 10 3 4 6 8 9 2 7 Bei einem Magischen Quadrat (nxn) gelten folgende Regeln: Die Spaltensumme ist gleich der Zeilensumme und gleich der Diagonalensumme. Bei dem Quadrat oben ist sie 18. Es kommen nur die Zahlen zwischen 1 und n 2 vor. Jede Zahl kommt genau einmal vor. Wir werden mathematisch Quadrate betrachten bei denen nur die Summen (Zeile/Spalte/Diagonale) immer eine konstante Zahl ergibt. 3 Summanden zum Quadrat = binomische Formel? | Mathelounge. Einige dieser Quadrate sind dann Magische Quadrate. Diese Quadrate sind ein weiteres Beispiel für das Rechnen mit Vektoren. Denn diese Quadrate kann man ebenfalls als Vektoren auffassen. Wir werden untersuchen, wie man solche Quadrate mit festen Summen aufstellt. Der Mathematiker sagt auch, dass magische Quadrate einer bestimmten Seitenlänge sogar einen Vektorraum bilden. m a ist ein Magisches Quadrat mit der geforderten Seitenlänge und der Summe a. r, t sind Zahlen. Die Summe: + ist dann die zahlenweise Addition der Magischen Quadrate (Feld1 + Feld1... ) r ⋅ m a ist dann die Multiplikation jedes Feldes mit einer Zahl r. V1: Assoziativgesetz: Die Reihenfolge der Addition der Quadrate spielt keine Rolle: m1 a + ( m2 b + m3 c) = (m1 a + m2 b) + m3 c = m a+b+c V2: Existenz eines neutralen Elements: m 1 + 0 = m 1, wobei 0 ein magisches Quadrat mit lauter Nullen ist.
Beispiel 4 $$ \sum_{k=2}^{2} a_k = a_2 $$ Beispiel 5 $$ \sum_{k=5}^{5} k = 5 $$ Beispiel 6 $$ \sum_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14 $$ Ist der Startwert größer als der Endwert, ist die Summe leer. Eine leere Summe wird als $0$ definiert. Zur Erinnerung: $0$ ist das neutrale Element der Addition. Quadrat einer summe in minecraft. Beispiel 7 $$ \sum_{k=2}^{1} a_k = 0 $$ Beispiel 8 $$ \sum_{k=4}^{3} 3k = 0 $$ Beispiel 9 $$ \sum_{k=6}^{2} 9 = 0 $$ Wenn in der Summe eine Konstante – also ein Wert, der von der Laufvariable unabhängig ist – steht, kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden. Beispiel 10 $$ \begin{align*} \sum_{k=3}^{8} 4 &= (8 - 3 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 \\[5px] &= 24 \end{align*} $$ Beispiel 11 $$ \begin{align*} \sum_{k=8}^{9} 3 &= (9 - 8 {\color{red}\;+\;1}) \cdot 3 \\ &= 2 \cdot 3 \\[5px] &= 6 \end{align*} $$ Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen, wenn der Startwert $1$ ist: Beispiel 12 $$ \sum_{k=1}^{5} 6 = 5 \cdot 6 = 30 $$ Beispiel 13 $$ \sum_{k=1}^{4} 8 = 4 \cdot 8 = 32 $$ Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ S. 421 in John Stillwell: Mathematics and its history. 3. Auflage. Springer, New York 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8, doi: 10. 1007/978-1-4419-6053-5. ↑ S. 423 in John Stillwell: Mathematics and its history. 1007/978-1-4419-6053-5. ↑ Vgl. Brief von Leonhard Euler an Christian Goldbach (4. Mai 1748 / 12. April 1749). ↑ Vgl. Adrien-Marie Legendre: Essai sur la Theorie des Nombres. Paris 1808, S. 293–339 ( Théorie des Nombres considérés comme décomposables en trois quarrés). ↑ Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers 1988, S. 391–392 ↑ David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen, 67, 1909, S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe. Grundlagen zur Summe der Quadrate - Minitab. ) In: Mathematische Annalen, 74, 1913, Nr. 2, S. 271–274.
(Dann ist die Summe auch null. ) V3: Existenz eines inversen Elements: m a + m -a = 0 Bei m -a sind alle Werte mit (-1) multipliziert. V4: Kommutativgesetz: m1 a + m2 b = m2 b + m1 a S1: r ⋅ (m1 a + m2 b) = r ⋅ m1 a + r ⋅ m2 b. S2: (r+b) ⋅ m a = r ⋅ m a + s ⋅ m a S3: (r ⋅ s) ⋅ m a r ⋅ (s ⋅ m a) S4: 1 ⋅ m a = ⋅ m a Wir beschäftigen uns zuerst mit 3x3 Quadraten. Wir untersuchen zuerst diese Quadrate allgemein. Quadrat einer summe in 1. Welche Bewandtnis hat das mittlere Element? Wir stellen Gleichungen auf, da die Summen immer eine vorgegebene Zahl bilden. Diese Gleichungen lösen wir und interpretieren die Lösungen.