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In der Verhältnisrechnung geht es um das Rechnen mit Verhältnissen. Definition Unter einem Verhältnis zweier zu vergleichender Größen $a$ und $b$ versteht man deren Quotienten $\boldsymbol{a:b}$ (oder in Bruchschreibweise: $\boldsymbol{\frac{a}{b}}$). Verhältnisse werden gewöhnlich in gekürzter Form angegeben ( Brüche kürzen). Beispiel 1 In Patricks Klasse befinden sich $18$ Jungen und $12$ Mädchen. Verteilungsrechnung mit buchen sie. In welchem Verhältnis stehen Jungen und Mädchen zueinander? $$ \begin{align*} 18: 12 &= \frac{18}{12} &&{\color{gray}| \text{ Bruch kürzen}} \\[5px] &= \frac{\cancel{2} \cdot 3 \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot \cancel{3}} \\[5px] &= \frac{3}{2} \end{align*} $$ Die Jungen und Mädchen stehen im Verhältnis $3:2$ (sprich: 3 zu 2) zueinander. Verhältnisgleichungen In vielen Aufgabenstellungen lassen sich zwei Verhältnisse gleichsetzen. Verhältnisgleichungen sind Gleichungen, die zwei Verhältnisse gleichsetzen: $$ a:b = c:d \quad \Leftrightarrow \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$ Lineare Gleichungen lösen wir gewöhnlich mittels Äquivalenzumformungen.
Nächstes Beispiel: Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren (A) Manchmal kommt es vor, dass du Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren musst. Aufgepasst! Bei einer Addition von Brüchen mit ganzen Zahlen wird die ganze Zahl anders behandelt als bei einer Multiplikation: = = 2 * = = Diese beiden Ergebnisse sind völlig unterschiedlich. Verteilungsrechnung - Verteilung nach Brüchen - YouTube. Vergiss also niemals, dass die ganze Zahl vor einem Bruch in der Addition zum Bruch addiert wird und bei einer Multiplikation von einer ganzen Zahl mit einem Bruch multipliziert wird. Noch ein Beispiel Vergleiche nach Berechnung: und 5 * = und 5 * = = 3 Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren (B) Am Anfang zu der Multiplikation mit ganzen Brüchen erwähnten wir, dass es einen Unterschied zur Addition gibt. Wenn du mehrere Brüche miteinander multiplizierst und hierbei ganze Zahlen vorkommen, ist folgende Vorgehensweise praktischer: Wechsele vom gemischten in den unechten Bruch: = (Ganze Zahl * Nenner) + Zähler (Nenner beibehalten) = (2 *6) + 1 = 13 (Nenner bleibt 6) Also: Noch einmal: = (8 * 5) + 4 = 44 (Nenner bleibt 5) Es gibt eine Besonderheit, die du beim Multiplizieren von Brüchen beachten musst.
Beispiel 2 In Patricks Nachbarklasse ist das Jungen-Mädchen-Verhältnis auch $3:2$. Wie viele Jungen sind in der Nachbarklasse, wenn dort $8$ Mädchen sind? Verteilungsrechnung mit brüchen übungen. $3$ Jungen verhalten sich zu $2$ Mädchen wie $x$ Jungen zu $8$ Mädchen. Ansatz: $\frac{3}{2} = \frac{x}{8}$ (sprich: 3 zu 2 wie x zu 8) $$ \begin{align*} \frac{3}{2} &= \frac{x}{8} &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] \frac{x}{8} &= \frac{3}{2} &&{\color{gray}| \cdot 8} \\[5px] x &= \frac{3}{2} \cdot 8 \\[5px] x &= 12 \end{align*} $$ In Patricks Nachbarklasse sind $12$ Jungen. Neben dem äquivalenten Umformen gibt es noch ein weiteres Lösungsverfahren: Ein beliebtes Lösungsverfahren für Verhältnisgleichungen ist der Dreisatz. Die zeitintensive Anwendung des Dreisatzes kann man sich sparen, wenn man weiß, wie man eine Verhältnisgleichung aufstellt und diese durch einfache mathematische Operationen löst. Verhältnisrechnung für Fortgeschrittene Nach dieser kurzen Einführung in die Verhältnisrechnung wird es Zeit, sich tiefergehend mit diesem Thema auseinanderzusetzen: Dabei sollen dir die Kapitel zum Verhältnis und zu den Verhältnisgleichungen helfen.