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Es gelten die Grenzwerte: $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\frac32$ und $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\frac32$ Zählergrad > Nennergrad Hier gibt es mehrere Möglichkeiten. Es ist unnötig kompliziert alle auswenidg zu lernen. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in e. Daher am besten hier mit der Wertetabelle arbeiten. Wer geübt mit Grenzwerten ist, kann hier Polynomdivision anwenden und dann den Grenzwert leicht ablesen. Wenn man für $x$ unendlich einsetzt bekommt man auch für den Grenzwert unendlich. $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}$ $=\lim\limits_{x\to+\infty} (x-5+\frac{6}{x+2})$ $="+\infty"$
Da der Zählergrad genauso groß ist wie der Nennergrad, entspricht der Grenzwert dem Quotienten der Koeffizienten vor den Potenzen mit den höchsten Exponenten: $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{{\color{Red}3}x^2+x-4}{{\color{Red}2}x^2-5} = \frac{{\color{Red}3}}{{\color{Red}2}} = 1{, }5 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 1{, }57 & \approx 1{, }505 & \approx 1{, }5005 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 3 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^2-4}{2x-5} $$ für $x\to+\infty$. Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad und $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to +\infty$ gegen $+\infty$: $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-4}{2x-5} = +\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1. Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | Mathebibel. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 19{, }7 & \approx 153{, }8 & \approx 1503{, }8 & \cdots \end{array} $$ Grenzwert x gegen minus unendlich * Gilt $n > m$ (Zählergrad größer Nennergrad) hängt es von verschiedenen Faktoren ab, ob die gebrochenrationale Funktion gegen $+\infty$ oder gegen $-\infty$ strebt.
Dazu können wir zwei Fälle unterscheiden: Merke Hier klicken zum Ausklappen Fall 1: $\; n$ und $m$ sind beide gerade oder beide ungerade: $\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} +\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ -\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$ Wer das liest, ist doof! Oder kopiert für nen Komilitonen... :D Merke Hier klicken zum Ausklappen Fall 2: $\; n$ und $m$ sind verschieden (also einmal gerade und einmal ungerade): $\lim_{x \to - \infty} f(x) = \begin{cases} -\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} > 0 \\ +\infty & \text{für} n > m & \text{und} \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$. Beispiel 1: Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{6x^2-12x}$. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in 10. Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$? Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind: $n = m$ Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen: $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
In diesem Kapitel lernen wir, den Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion zu berechnen. Einordnung Wir wissen bereits, dass wir Grenzwerte mithilfe von Wertetabellen berechnen können. Dieses Vorgehen ist allerdings ziemlich zeitaufwändig. Verhalten im Unendlichen: Gebrochenrationale Funktion. Bei einigen Funktionen können wir ohne Berechnung, also nur durch das Aussehen der Funktionsgleichung auf den Grenzwert schließen. Bei gebrochenrationalen Funktionen läuft die Grenzwertberechnung letztlich auf einen Vergleich des Zählergrads und des Nennergrads hinaus. Grenzwert x gegen plus unendlich Beispiel 1 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x-4}{2x^2-5} $$ für $x\to+\infty$. Da der Zählergrad kleiner ist als Nennergrad, strebt die Funktion für $x \to +\infty$ gegen $0$: $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x-4}{2x^2-5} = 0 $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 10 & 100 & 1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 0{, }13 & \approx 0{, }015 & \approx 0{, }0015 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 2 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^2+x-4}{2x^2-5} $$ für $x\to+\infty$.
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ gerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^4-4}{2x^2-5} = +\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 153{, }83 & \approx 15003{, }75 & \approx 1500003{, }75 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 7 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^4-4}{-2x^2-5} $$ für $x\to-\infty$. Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ gerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} < 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^4-4}{-2x^2-5} = -\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in english. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -146{, }32 & \approx -14996{, }25 & \approx -1499996{, }25 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 8 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^3-4}{2x-5} $$ für $x\to-\infty$.
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