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Eine Epsilon-Umgebung () um die Zahl, eingezeichnet auf der Zahlengeraden. Umgebung ist ein Begriff der Mathematik aus der Topologie, der in vielen Teilgebieten gebraucht wird. Er ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der -Umgebung aus der Analysis und präzisiert das umgangssprachliche Konzept der 'Umgebung' für den mathematischen Gebrauch. Fachbegriffe und Fremdwörter, die man sich "aneignen" sollte. Mathematische Eigenschaften, die auf eine gewisse Umgebung bezogen sind, heißen lokal, im Unterschied zu global. Umgebungen in metrischen Räumen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Menge ist eine Umgebung des Punkts. Das Rechteck ist keine Umgebung für den Eckpunkt. Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In einem metrischen Raum ergibt sich der Umgebungsbegriff aus der Metrik: Man definiert die sogenannten -Umgebungen. Für jeden Punkt des Raums und jede positive reelle Zahl (Epsilon) wird definiert: Die so definierte -Umgebung von wird auch offene -Kugel um oder offener Ball genannt. Eine Teilmenge von ist nun genau dann eine Umgebung des Punktes, wenn sie eine -Umgebung von enthält.
Punktierte Umgebung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine punktierte Umgebung eines Punktes entsteht aus einer Umgebung, indem man den Punkt entfernt, also. [2] Punktierte Umgebungen spielen insbesondere bei der Definition des Grenzwerts einer Funktion eine Rolle, ebenso in der Funktionentheorie bei der Betrachtung von Wegintegralen holomorpher Funktionen. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In einem metrischen Raum sieht eine punktierte -Umgebung folgendermaßen aus: Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 20. ↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 236 (Mathematische Leitfäden). Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9. James R. Umgebung (Mathematik) – Wikipedia. Munkres: Topology. 2. Auflage.
Die -Umgebung einer beschränkten Funktion auf besteht hier aus allen Funktionen, die punktweise mit einer kleineren Abweichung als approximieren. Anschaulich: Die Schaubilder aller dieser Funktionen liegen innerhalb eines " -Schlauches" um das Schaubild von herum. Nehme zum Beispiel die folgende Menge: Diese Menge ist eine Umgebung von, weil sie eine Obermenge von für ein ist: Umgebungen in topologischen Räumen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Gegeben sei ein topologischer Raum. Fachbegriffe deutsch pdf translate. Zu jedem Punkt gehört die Menge seiner Umgebungen. Das sind in erster Linie die offenen Mengen, die als Element enthalten; diese heißen offene Umgebungen von. Dazu kommen alle Mengen, die eine offene Umgebung von als Teilmenge enthalten. Damit ist genau dann Umgebung von, also, wenn es eine offene Menge gibt, für die gilt. Die Menge der Umgebungen des Punktes bildet bezüglich der Mengeninklusion einen Filter, den Umgebungsfilter von. Eine Teilmenge von heißt eine Umgebungsbasis von, oder Basis von, wenn jede Umgebung von ein Element von als Teilmenge enthält.
Im Allgemeinen ist eine Umgebung eines Punktes nicht Umgebung aller in ihr enthaltenen Punkte, sie enthält aber eine weitere Umgebung von, so dass Umgebung aller Punkte in ist. ) Diese vier Eigenschaften werden auch die Hausdorffschen Umgebungsaxiome genannt und bilden die historisch erste Formalisierung des Begriffes des topologischen Raumes. Denn ordnet man umgekehrt jedem Punkt einer Menge ein die obigen Bedingungen erfüllendes nichtleeres Mengensystem zu, so gibt es eine eindeutig bestimmte Topologie auf, sodass für jedes das System das Umgebungssystem von ist. So erfüllen beispielsweise die oben definierten Umgebungen in metrischen Räumen die Bedingungen 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können denselben Umgebungsbegriff und damit dieselbe Topologie induzieren. Fachbegriffe - deutsche-grammatik.net - Deutsche Grammatik, Rechtschreibung und Textsorten. Eine Menge ist in diesem Fall genau dann offen, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz motiviert die Verwendung des Wortes "offen" für den oben definierten mathematischen Begriff: Jeder Punkt nimmt seine nächsten Nachbarn in die offene Menge mit, keiner steht anschaulich gesprochen "am Rand" der Menge. )
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