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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik-Analysis-Reihen-Grenzwert einer Reihe Eine Summe mit unendlich vielen Summanden bezeichnet man als Reihe. Sie konvergiert gegen einen Grenzwert wenn die Folge der Partialsummen gegen konvergiert. Existiert kein Grenzwert, so bezeichnet man die Reihe als divergent. Der Grenzwert kann von der Reihenfolge der Summanden abhängen, aucht nach dem Umordnen nicht mehr zu existieren. Grenzwerte berechnen (geometrische Folge) | Mathelounge. Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dass Nur in wenigen Fällen ist die explizite Berechnung einer Reihe möglich. Ein Beispiel sind bestimmte Reihen mit rationalen Summanden wie Nach der Partialbruchzerlegung lässt sich diese Reihe in der Form schreiben. Bis auf und heben sich alle Summanden auf, so dass der Grenzwert unmittelbar abgelesen werden kann. Für die Differenz der Partialsummen gilt für da sich die mittleren Terme aufheben. Die Partialsummen bilden also eine Cauchy-Folge: für Die Differenz zum Grenzwert ist Das Beispiel zeigt auch, dass die Reihenfolge der Summanden im allgemeinen wesentlich ist.
Beispiele Eine Folge sei wie oben $a_n = \frac{1}{n} + 2$ mit dem Grenzwert 2; eine andere Folge sei $b_n = \frac{1}{n} + 1$ mit dem Grenzwert 1. Dann ist der Grenzwert der Summe der beiden Folgen $a_n + b_n = \frac{1}{n} + 2 + \frac{1}{n} + 1$ gleich der Summe der Grenzwerte: 2 + 1 = 3. Der Grenzwert des Produktes der beiden Folgen $a_n \cdot b_n = (\frac{1}{n} + 2) \cdot (\frac{1}{n} + 1)$ ist gleich dem Produkte der Grenzwerte: $2 \cdot 1 = 2$.
671 Aufrufe Aufgabe: Berechne den Grenzwert der rekursiven Folge (a n) mit \( a_{1} = 3 \) und \( a_{n} = \frac{a_{n-1}^{2}+1}{a_{n-1}+2} \) Dabei gilt, dass die Folge (a n) konvergent mit dem Grenzwert g ist. \( n \geq 2 \) Gefragt 10 Sep 2020 von 3 Antworten Aloha:) Hier wurde eben noch eine ähnliche Frage gestellt. Schau mal bitte, ob du deine Aufgabe einfach nur fürchterlich falsch aufgeschrieben hast und das eventuell dieselbe Aufgabe ist... Da \(n\to\infty\) geht, ist der Grenzwert der Folge \(a_n\) derselbe wie der Grenzwert von \(a_{n-1}\):$$a:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}$$Du kannst also folgende Gleichung aufstellen$$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n-1}^2+1}{a_{n-1}+2}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n-1}^2+1)}{\lim\limits_{n\to\infty}(a_{n-1}+2)}=\frac{a^2+1}{a+2}$$und nach \(a\) auflosen:$$\left. a=\frac{a^2+1}{a+2}\quad\right|\quad\cdot(a+2)$$$$\left. a(a+2)=a^2+1\quad\right|\quad\text{links ausrechnen}$$$$\left.
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