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Gleichungssystem lösen Dazu betrachten wir die Vektoren komponentenweise und lösen das Gleichungssystem: (I) (II) (III) Aus (II) sehen wir direkt, dass gelten muss. Einsetzen in (III) liefert uns. Damit ist in (I) auch. Wir haben lineare Unabhängigkeit gezeigt. Gaußsches Eliminationsverfahren Ein Gleichungssystem explizit auszurechnen, ist je nach Vektorraum und Anzahl der Vektoren etwas mühsam. Leichter und schneller geht es mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Dazu schreibst du deine Vektoren nebeneinander in eine Matrix und formst sie entsprechend um. Nullzeile oder -Spalte in der Matrix Lineare Abhängigkeit der Vektoren Keine Nullzeile oder-Spalte in der Matrix Lineare Unabhängigkeit der Vektoren. In Beispiel 2 sieht die Matrix folgendermaßen aus: Wir sehen sofort, dass sich mit dem Gauß Algorithmus keine Nullzeile beziehungsweise Nullspalte erzeugen lässt. Somit sind unsere Vektoren also linear unabhängig. Merke Elementare Umformungen, wie das Gauschen Eliminationsverfahren, verändern die lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit nicht.
Eine Determinante verschieden von Null würde lineare Unabhängigkeit bedeuten. Ansonsten wären die Vektoren linear abhängig. Die Beziehung zwischen linearer Unabhängigkeit und der Determinante wird auch in der Cramerschen Regel deutlich. Hat man drei Vektoren Eine entsprechend konfigurierte Matrix A würde so aussehen: Ist die Determinante der Matrix det( A) = 0, wären die Vektoren linear abhängig. Bei det( A) ≠ 0 hingegen linear unabhängig. Anstatt einer 3×3-Matrix, könnte man auch eine 2×2- oder allgemein, eine n × n -Matrix nehmen, die entsprechend dem Beispiel konfiguriert ist. Mit der Determinante kann man auch verstehen, weshalb drei Vektoren in immer linear unabhängig sind. Betrachten wir dazu eine entsprechend konfigurierte Matrix B: Da wir für die Berechnung der Determinante immer eine quadratische Matrix n × n benötigen, aber drei Vektoren aus dem 2-dimensionalen Vektorraum haben, müssen wir die letzte Reihe mit Nullen auffüllen. Eine der Eigenschaften der Determinante ist allerdings, dass sie immer Null ist, wenn eine Reihe (oder eine Spalte) der Matrix vollständig aus Nullen besteht (siehe dazu auch den Artikel Determinante).
und sind linear abhängig, da sie parallel zueinander verlaufen., und sind linear unabhängig, da und voneinander unabhängig sind und sich nicht als lineare Kombination der beiden darstellen lässt bzw. weil sie nicht auf einer gemeinsamen Ebene liegen. Die drei Vektoren definieren einen drei-dimensionalen Raum. Die Vektoren ( Nullvektor) und sind linear abhängig, da Einzelner Vektor [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Vektor sei ein Element des Vektorraums über. Dann ist der einzelne Vektor für sich genau dann linear unabhängig, wenn er nicht der Nullvektor ist. Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn mit, nur oder sein kann! Vektoren in der Ebene [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Vektoren und sind in linear unabhängig. Beweis: Für gelte d. h. Dann gilt also Dieses Gleichungssystem ist nur für die Lösung, (die sogenannte triviale Lösung) erfüllt; d. h. und sind linear unabhängig. Standardbasis im n-dimensionalen Raum [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im Vektorraum betrachte folgende Elemente (die natürliche oder Standardbasis von): Dann ist die Vektorfamilie mit linear unabhängig.
Merke Hier klicken zum Ausklappen Anmerkung: Klar ist, dass es in einer Ebene nicht mehr als 2 zueinander linear unabhängige Vektoren geben kann. Ebenso gilt im Dreidimensionalen, dass 3 linear unabhängige Vektoren ausreichen, um zu jedem Punkt im Raum zu gelangen. Also kann jeder Vektor durch eine Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren dargestellt werden. Einfachstes Beispiel: Jeder Vektor im $\mathbb{R}^3$ kann durch eine Kombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ beschrieben werden. Ein weiteres Beispiel für die " Unabhängigkeit " findet sich hier: Anleitung zur Videoanzeige